作业帮平面几何竞赛题设P为△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,O为异于P的任意一点,求证：OA+OB+OC＞PA+PB+PC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/02 12:34:14
平面几何竞赛题设P为△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,O为异于P的任意一点,求证：OA+OB+OC＞PA+PB+PC
平面几何竞赛题
设P为△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,O为异于P的任意一点,求证：OA+OB+OC＞PA+PB+PC
平面几何竞赛题设P为△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,O为异于P的任意一点,求证：OA+OB+OC＞PA+PB+PC
这道题用到了楼上所说的【费尔马点】
证明：
过△ABC的顶点A、B、C分别作PA⊥AM,PC⊥CN,PB⊥BQ,三垂线分别交于M、N、Q三点
在四边形QAPB中,∠QAP＝∠QBP＝90°,∠APB＝120°
∴∠AQB＝60°
同理,∠AMC＝∠CNB＝60°
∴△QMN为等边三角形
设其边长为a,高为h,并设O到△MNQ三边的距离分别为ha,hb,hc
∵S△QMN＝S△OQN＋S△OQM＋S△OMN
∴1/2ah＝1/2a•ha＋1/2a•hb＋1/2a•hc＝1/2a(ha＋hb＋hc)
∴h＝ha＋hb＋hc
即△QMN内任意一点O到△QMN三边的距离之和等于等边三角形的高,是一个定值
∴PA＋PB＋PC＝h
连接直线外一点与直线上一点的线段中,垂线段最短
∴OA＋OB＋OC大于O到△QMN三边的距离和
即OA＋OB＋OC＞h
∴OA＋OB＋OC＞PA＋PB＋PC
【说明】平面上到△ABC三个顶点距离和最小的点是P点,点P叫费尔马点
这个是费马点问题
这个可以参考
http://zhidao.baidu.com/question/333339214.html?an=0&si=1
1) 证明△ABE相似于△ACB，得BE/BC=AB/AC，即BE=AB*BC/AC a) BE//AP => ∠AEB=∠PAC，PA与圆相切 => ∠PAC=∠ABC，故∠AEB=∠ABC b)