(1)证明:a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.(2)证明:一个六位数若能被7或37整除,那么把它们的末位数移到首位,得到的新的六位数仍能被7或37整除.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/01 19:28:38
![(1)证明:a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.(2)证明:一个六位数若能被7或37整除,那么把它们的末位数移到首位,得到的新的六位数仍能被7或37整除.](/uploads/image/z/10754985-57-5.jpg?t=%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9Aa%5E3%E4%B8%8Ea%5E23%28a%3E2%2Ca%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%29%E5%AE%83%E4%BB%AC%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%A4%E4%BD%8D%E6%95%B0%E5%AD%97%E7%9B%B8%E5%90%8C.%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%85%AD%E4%BD%8D%E6%95%B0%E8%8B%A5%E8%83%BD%E8%A2%AB7%E6%88%9637%E6%95%B4%E9%99%A4%2C%E9%82%A3%E4%B9%88%E6%8A%8A%E5%AE%83%E4%BB%AC%E7%9A%84%E6%9C%AB%E4%BD%8D%E6%95%B0%E7%A7%BB%E5%88%B0%E9%A6%96%E4%BD%8D%2C%E5%BE%97%E5%88%B0%E7%9A%84%E6%96%B0%E7%9A%84%E5%85%AD%E4%BD%8D%E6%95%B0%E4%BB%8D%E8%83%BD%E8%A2%AB7%E6%88%9637%E6%95%B4%E9%99%A4.)
(1)证明:a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.(2)证明:一个六位数若能被7或37整除,那么把它们的末位数移到首位,得到的新的六位数仍能被7或37整除.
(1)证明:a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.
(2)证明:一个六位数若能被7或37整除,那么把它们的末位数移到首位,得到的新的六位数仍能被7或37整除.
(1)证明:a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.(2)证明:一个六位数若能被7或37整除,那么把它们的末位数移到首位,得到的新的六位数仍能被7或37整除.
(1) a^3与a^23末两位数字相同即a^23-a^3能被100整除.
只需证明a^23-a^3能被4和25整除.
注意恒等式: a^23-a^3 = a^3(a^20-1)
= a^3(a^10-1)(a^10+1)
= a^3(a^5-1)(a^5+1)(a^10+1).
若a被2整除, 则a^2被4整除.
而a^23-a^3被a^2整除, 故a^23-a^3被4整除.
若a不被2整除, 则a^5-1, a^5+1都被2整除, 故(a^5-1)(a^5+1)被4整除.
而a^23-a^3被(a^5-1)(a^5+1)整除, 故同样有a^23-a^3被4整除.
因此a^23-a^3一定被4整除.
关于25先证明一个小结论:
当k为整数, (5k+1)^5-1与(5k-1)^5+1都被25整除.
学过二项式定理或者不怕计算的话可以直接展开, 分别得到:
3125k^5+3125k^4+1250k^3+250k^2+25k与3125k^5-3125k^4+1250k^3-250k^2+25k,
显然都被25整除.
熟悉同余性质的话可以用a^5+b^5 = (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4).
(5k+1)^5-1 = 5k((5k+1)^4+(5k+1)^3+(5k+1)^2+(5k+1)+1),
而用同余形式容易证明(5k+1)^4+(5k+1)^3+(5k+1)^2+(5k+1)+1被5整除,
即得(5k+1)^5-1被25整除.
(5k-1)^5+1 = 5k((5k-1)^4-(5k-1)^3+(5k-1)^2-(5k-1)+1)与此类似.
若a被5整除, 则a^2被25整除.
而a^23-a^3被a^2整除, 故a^23-a^3被25整除.
若a除以5余1, 则可设a = 5k+1, 于是a^5-1被25整除.
而a^23-a^3被a^5-1整除, 故a^23-a^3被25整除.
若a除以5余4, 则可设a = 5k-1, 于是a^5+1被25整除.
而a^23-a^3被a^5+1整除, 故a^23-a^3被25整除.
若a除以5余2或3, 则a^2除以5余4, 可设a^2 = 5k-1, 于是a^10+1被25整除.
而a^23-a^3被a^10+1整除, 故a^23-a^3被25整除.
因此a^23-a^3一定被25整除.
综合两方面即得结论.
注: 如果学过Fermat-Euler定理, 当a不被5整除时, 可直接得到a^20-1被25整除.
(2) 设6位数m各位依次为a, b, c, d, e, f, 即m = 100000a+10000b+1000c+100d+10e+f.
变换后得到n = 100000f+10000a+1000b+100c+10d+e.
10n-m = 1000000f-f = 999999f = 999·1001f = 27·37·7·11·13f被7和37整除.
于是当m被7(或37)整除, 可得10n也被7(或37)整除, 于是n也被37整除.
第二题,感觉很像和777有关啊。
第一题,你要不试试穷举法?