（1）证明：a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.（2）证明：一个六位数若能被7或37整除,那么把它们的末位数移到首位,得到的新的六位数仍能被7或37整除.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 02:11:28
（1）证明：a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.（2）证明：一个六位数若能被7或37整除,那么把它们的末位数移到首位,得到的新的六位数仍能被7或37整除.
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（1）证明：a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.（2）证明：一个六位数若能被7或37整除,那么把它们的末位数移到首位,得到的新的六位数仍能被7或37整除.
（1）证明：a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.
（2）证明：一个六位数若能被7或37整除,那么把它们的末位数移到首位,得到的新的六位数仍能被7或37整除.

（1）证明：a^3与a^23(a>2,a是正整数)它们的最后两位数字相同.（2）证明：一个六位数若能被7或37整除,那么把它们的末位数移到首位,得到的新的六位数仍能被7或37整除.
(1) a^3与a^23末两位数字相同即a^23-a^3能被100整除.
只需证明a^23-a^3能被4和25整除.
注意恒等式: a^23-a^3 = a^3(a^20-1)
= a^3(a^10-1)(a^10+1)
= a^3(a^5-1)(a^5+1)(a^10+1).
若a被2整除, 则a^2被4整除.
而a^23-a^3被a^2整除, 故a^23-a^3被4整除.
若a不被2整除, 则a^5-1, a^5+1都被2整除, 故(a^5-1)(a^5+1)被4整除.
而a^23-a^3被(a^5-1)(a^5+1)整除, 故同样有a^23-a^3被4整除.
因此a^23-a^3一定被4整除.
关于25先证明一个小结论:
当k为整数, (5k+1)^5-1与(5k-1)^5+1都被25整除.
学过二项式定理或者不怕计算的话可以直接展开, 分别得到:
3125k^5+3125k^4+1250k^3+250k^2+25k与3125k^5-3125k^4+1250k^3-250k^2+25k,
显然都被25整除.
熟悉同余性质的话可以用a^5+b^5 = (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4).
(5k+1)^5-1 = 5k((5k+1)^4+(5k+1)^3+(5k+1)^2+(5k+1)+1),
而用同余形式容易证明(5k+1)^4+(5k+1)^3+(5k+1)^2+(5k+1)+1被5整除,
即得(5k+1)^5-1被25整除.
(5k-1)^5+1 = 5k((5k-1)^4-(5k-1)^3+(5k-1)^2-(5k-1)+1)与此类似.
若a被5整除, 则a^2被25整除.
而a^23-a^3被a^2整除, 故a^23-a^3被25整除.
若a除以5余1, 则可设a = 5k+1, 于是a^5-1被25整除.
而a^23-a^3被a^5-1整除, 故a^23-a^3被25整除.
若a除以5余4, 则可设a = 5k-1, 于是a^5+1被25整除.
而a^23-a^3被a^5+1整除, 故a^23-a^3被25整除.
若a除以5余2或3, 则a^2除以5余4, 可设a^2 = 5k-1, 于是a^10+1被25整除.
而a^23-a^3被a^10+1整除, 故a^23-a^3被25整除.
因此a^23-a^3一定被25整除.
综合两方面即得结论.
注: 如果学过Fermat-Euler定理, 当a不被5整除时, 可直接得到a^20-1被25整除.
(2) 设6位数m各位依次为a, b, c, d, e, f, 即m = 100000a+10000b+1000c+100d+10e+f.
变换后得到n = 100000f+10000a+1000b+100c+10d+e.
10n-m = 1000000f-f = 999999f = 999·1001f = 27·37·7·11·13f被7和37整除.
于是当m被7(或37)整除, 可得10n也被7(或37)整除, 于是n也被37整除.

第二题，感觉很像和777有关啊。
第一题，你要不试试穷举法？

证明（a-1）（a^2-3）+a^2（a+1）-2（a^3-2a-4）-a的值与a的值无关. 证明（a-1）（a²-3）+a²（a+1）-2（a³-2a-4）-a的值与a的值无关. 证明（a-1）（a²-3）+a²（a+1）-2(a³-2a-4)-a的值与a无关 证明(a³+3a²+4a-1）+（a²-3a+a³-3）+（8-a-4a²-2a³）的值与a无关. 证明（a³+3a²+4a-1）-（2a³+4a²+a-8）+（a³+a²-3a-3）的值与a无关 证明多项式(a-1)(a^2-3)+a^2(a+1)-2(a^3-2a-4)-a的值与a的取值无关' 证明:(a-1)(a的平方-3)+a的平方(a+1)-2(a的立方-2a-4)-a的值与a无关 已知A=2a^2-3a^2+a+4,B=-a^3+a^2-a-1,C=a^3－2a^3+1.证明：C－（A+B)的值与a无关 设A是数集 满足a∈A 则有1/(1-a)∈A 1..若2∈a,证明A中至少含有 3个元素 2.证明：若a∈A 则1-（1/a）∈A a是实数,证明 a^4+a^2+1>a^3+a 证明:(a的三次方+3a^+4a-1)+(a^-3a+a的三次方-3)+(8-a-4a^-2a的三次方)的值与a的值无关 哪个高手能证明:(a³+3a²+4a-1)-(2a³+4a²+a-8)+(a³+a²-3a-3)的值与a无关要快。。。。。。。。。谢谢 证明(a立方+5a平方+4a-1)+(a立方+8-7a-6a平方)-(-a平方-3a+2a立方-3)的值与a无关 不等式证明2a/1+a^2 证明3a^2(b-a) a,a^2,a^3,.a^n相加之后是[a^(n+1)-a]/（a-1）这是为什么呢?有什么计算过程来证明? (3-a)^1/2与(a-5)^1/3大小关系要证明过程 证明多项式16+ a-{8a-[a-9-3(1-2a)]}的值与字母a的取值无关