高数三重积分的问题 曲面（x^2+y^2+z^2）^3=xyz所围的均匀物体（u=3）的质量为多少?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 09:31:09
高数三重积分的问题 曲面（x^2+y^2+z^2）^3=xyz所围的均匀物体（u=3）的质量为多少?
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高数三重积分的问题 曲面（x^2+y^2+z^2）^3=xyz所围的均匀物体（u=3）的质量为多少?
高数三重积分的问题
曲面（x^2+y^2+z^2）^3=xyz所围的均匀物体（u=3）的质量为多少?

高数三重积分的问题 曲面（x^2+y^2+z^2）^3=xyz所围的均匀物体（u=3）的质量为多少?
这个问题转化为求这个物体的体积.因为它是均匀的,算出体积乘以密度就可以得到它的质量.
下面求它的体积.这个物体比较奇怪,到现在我也想像不出它的形状.但是从表达式来看,x,y,z的地位是平等的.这个物体可分成四个相同的部分.我们只要求出它在x,y,z都大于0的部分的体积就可以了.下面我们就求这部分的体积,它其实等于积分：（下面用W表示积分号,看起来有点乱,但愿你能看明白）
Wdxdydz(在（x^2+y^2+z^2）^3=xyz,x,y,z都大于0区域积分）
作球坐标变换T：
x=rcosacosb
y=rsinacosb
z=rsinb
则可以算出
detDT=r^2cosb
其中a,b两个角都在0到pi/2之间,r> =0.
Wdxdydz(在（x^2+y^2+z^2）^3=xyz,x,y,z都大于0区域积分）
=Wr^2cosbdrdadb(在r^3=cosasinacosbcosbsinb,b两个角都在0到pi/2之间,r> =0上积分）
=W(Wr^2dr(r从0到（cosasinacosbcosbsinb)^(1/3))上积分）cosbdadb(a,b两个角都在0到pi/2之间积分）
=Wcosbcosasinacosbcosbsinb/3dadb(a,b两个角都在0到pi/2之间积分)
=1/24(这个积分过程很简单我就不详细写了）
所以这个物体体积为1/24*4=1/6
质量1/2.

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