作业帮已知cosx-cosy=1/3,求cosy-2(sinx)^2的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 05:05:59
已知cosx-cosy=1/3,求cosy-2(sinx)^2的最大值.
已知cosx-cosy=1/3,求cosy-2(sinx)^2的最大值.
已知cosx-cosy=1/3,求cosy-2(sinx)^2的最大值.
∵cosy=cosx-1/3
∴原式=cosx-2*(1-cosx^2)-1/3= cosx-2+2cosx^2-1/3=2cosx^2+cosx-7/3
设f(x)=2cosx^2+cosx-7/3
f’(x)=-4cosxsinx-sinx=0
sinx=0,x1=2kπ, x2=2kπ+π;
-4cosx-1=0,cosx=-1/4,x3=2kπ-arcos(-1/4) ,x4=2kπ+arcos(-1/4)
x1=2kπ时,f(x)取极大值f(x)=2/3
x2=2kπ+π时,f(x)取极大值f(x)=-4/3
x3=2kπ-arcos(-1/4)或x4=2kπ+arcos(-1/4)时, f(x)取极小值f(x)=-59/24
综上,x1=2kπ时,f(x)取最大值f(x)=2/3
(cosx)^2+(sinx)^2=1,cosx-cosy=1/3 所以
cosy-2(sinx)^2=cosy-2[1-(cosx)^2]=2(c0sx)^2+cosx-7/3,当cosx=1时有最大值2/3
由cosx-cosy=1/3得cosy=1/3+cosx
代入所求式，不妨记为z
z=1/3+cosx-2(1-(cosx)^2)
=2(c0sx)^2+cosx-7/3,
令t=cosx
则z（t）=2t^2+t-7/3（-1<=t<=1)
这是个抛物线，对称轴为-1/4
故当t=1时，取得最大值2/3
就把sinx 弄成 cosx
cosy 用cosx-1/3代掉
然后把cosx看成t 就是一个二次函数
t的范围 在-1到1之间
二次函数 会吧
cosx=cosy+1/3,(sinx)^2=1-(cosx)^2,所以cosy-2(sinx)^2=cosy+2(cosy)^2+(4/3)cosy-16/9=(cosy-7/6)^2-113/36.因为cosy最大为1，所以原式最大值为14/9
cosy=cosx-1/3
原式=cosx-2*(1-cosx^2)-1/3=2cosx^2+cosx-7/3
当cosx=1式取最大为2/3