人民公园的侧门口有9个台阶,小强一步只能上1级或2级台阶,小强发现当台阶分别为1级,2级,3级,4级,5级,...逐渐增加时,上台阶的不同方法的种数依次为1,2,3,5,8,13,21,...这就是著名的斐波那契数列,

人民公园的侧门口有9个台阶,小强一步只能上1级或2级台阶,小强发现当台阶分别为1级,2级,3级,4级,5级,...逐渐增加时,上台阶的不同方法的种数依次为1,2,3,5,8,13,21,...这就是著名的斐波那契数列,
人民公园的侧门口有9个台阶,小强一步只能上1级或2级台阶,小强发现当台阶分别为1级,2级,3级,4级,5级,...逐渐增加时,上台阶的不同方法的种数依次为1,2,3,5,8,13,21,...这就是著名的斐波那契数列,那么小强上9级台阶共有多少种方法?

人民公园的侧门口有9个台阶,小强一步只能上1级或2级台阶,小强发现当台阶分别为1级,2级,3级,4级,5级,...逐渐增加时,上台阶的不同方法的种数依次为1,2,3,5,8,13,21,...这就是著名的斐波那契数列,
答案是55
数列0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
方法一：利用特征方程（线性代数解法）
线性递推数列的特征方程为：
　　X^2=X+1
　　解得
　　X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
　　∵F(1)=F(2)=1
　　∴C1*X1 + C2*X2=C1*X1^2 + C2*X2^2=1　
　　解得C1=1/√5,C2=-1/√5
　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）
设常数r,s.
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)].
则r+s=1, -rs=1.
n≥3时,有.
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)].
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)].
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)].
……
F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴].
联立以上n-2个式子,得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴].
∵s=1-r,F⑴=F⑵=1.
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）.
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）.
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）.
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）.
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴.
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）.
（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）.
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）.
=(s^n - r^n)/(s-r）.
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2.
则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.
方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3）,求数列{an}的通项公式.
解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））.
得α+β=1.
αβ=-1.
构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2.
所以.
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1.
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2.
由式1,式2,可得.
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3.
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4.
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.
方法四：母函数法.
对于斐波那契数列{a(n)},有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2时)
令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+…….
那么有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x
.因此S(x)=x/(1-x-x^2).
不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].
因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.
再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……
于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……
其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.
因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}