设R是集合X上的一个自反关系.求证：R是对称和传递的,当且仅当 和 在R之中则有 在R之中.

设R是集合X上的一个自反关系.求证：R是对称和传递的,当且仅当 和 在R之中则有 在R之中.
设R是集合X上的一个自反关系.求证：R是对称和传递的,当且仅当 和 在R之中则有 在R之中.

设R是集合X上的一个自反关系.求证：R是对称和传递的,当且仅当 和 在R之中则有 在R之中.
证明：必要性显然
充分性：因为若(a,b),(a,c)属于R,则(b,c)都属于R
由(a,b)和(a,a)属于R,所以(b,a)属于R
由(a,c)和(a,a)属于R,所以(c,a)属于R
由(a,c)和(a,b)属于R,所以(c,b)属于R
所以R满足对称性
由(a,b),(b,c)和(a,c)属于R
(b,a),(a,c)和(b,c)属于R
(a,c),(c,b)和(a,b)属于R
(c,a),(a,b)和(c,b)属于R
(b,c),(c,a)和(b,a)属于R
(c,b),(b,a)和(c,a)属于R
所以R满足传递性.
证毕.

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