已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….(1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式.(
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 15:24:09
![已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….(1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式.(](/uploads/image/z/10892495-47-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E5%90%84%E9%A1%B9%E5%9D%87%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B0%2C%E8%AE%B0A%EF%BC%88n%EF%BC%89%3Da1%2Ba2%2B%E2%80%A6%2Ban%2CB%EF%BC%88n%EF%BC%89%3Da2%2Ba3%2B%E2%80%A6%2Ban%2B1%2CC%EF%BC%88n%EF%BC%89%3Da3%2Ba4%2B%E2%80%A6%2Ban%2B2%2Cn%3D1%2C2%2C%E2%80%A6%EF%BC%8E%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%8B%A5a1%3D1%2Ca2%3D5%2C%E4%B8%94%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8Fn%E2%88%88N%2A%2C%E4%B8%89%E4%B8%AA%E6%95%B0A%EF%BC%88n%EF%BC%89%2CB%EF%BC%88n%EF%BC%89%2CC%EF%BC%88n%EF%BC%89%E7%BB%84%E6%88%90%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E6%B1%82%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F%EF%BC%8E%EF%BC%88)
已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….(1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式.(
已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….
(1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式.
(2)证明:数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1,C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,….(1)若a1=1,a2=5,且对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an}的通项公式.(
(1)∵对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,
∴B(n)-A(n)=C(n)-B(n),
即an+1-a1=an+2-a2,亦即an+2-an+1=a2-a1=4.
故数列{an}是首项为1,公差为4的等差数列,于是an=1+(n-1)×4=4n-3.
(2)证明:(必要性):若数列{an}是公比为q的等比数列,对任意n∈N*,有an+1=anq.由an>0知,A(n),B(n),C(n)均大于0,于是
B(n) :A(n)=(a2+a3+…+an+1 ): (a1+a2+…+an )
=q(a1+a2+…+an):a1+a2+…+an
=q,
C(n):B(n)
=(a3+a4+…+an+2):(a2+a3+…+an+1)
=q(a2+a3+…+an+1):a2+a3+…+an+1
=q,
即B(n):A(n)=C(n):B(n)=q,
∴三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列;
(充分性):若对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列,则
B(n)=qA(n),C(n)=qB(n),
于是C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],即an+2-a2=q(an+1-a1),亦即an+2-qan+1=a2-qa1.
由n=1时,B(1)=qA(1),即a2=qa1,从而an+2-qan+1=0.
∵an>0,
∴an+2:an+1=a2:a1=q.故数列{an}是首项为a1,公比为q的等比数列.
综上所述,数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N*,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列