作业帮求x²y"+xy'=1通解
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 08:15:39
xQ[KA+fNf&;! ]HɊ4H ^jmRJLɿйlo9|3X,揎L t?H`tڹ YӇzww )pW
i46ȿ \`iSnP.(\ E4)ژ CύqK^F{+ˠ#w!ӏt̂j$/]eV*b`ФDJTY
K.dV@LfEJ&͔i&3(kR(oB[ }l?|AN.mmIߩqw-|: ~Nv'i&;OpVq vvq[
T#]X
8 il6=5}'ǬR8ĈQE퇯vG7_NG 7ȽH-"
求x²y"+xy'=1通解
求x²y"+xy'=1通解
求x²y"+xy'=1通解
答：
x^2y''+xy'=1
xy''+y'=1/x
(xy')'=1/x
积分得：
xy'=lnx+C
y'=(lnx+C) /x
积分得：
y=∫ (lnx+C) /x dx
=∫(lnx+C) d(lnx)
=(1/2)*(lnx)^2+C*lnx+K
所以：
y=(1/2)*(ln|x|)^2+C*ln|x|+K,C和K为任意实数
根据欧拉方程的解法，
令x=e^t
然后原方程变化成
[D(D-1)+D]y=1
[D^2-D+D]y=D^2y=1
所以y''(t)=1
y(t)=t^2/2+C1t+C2
把t=lnx带入得到
y(x)=(lnx)^2/2+C1lnx+C2
上面的Dy代表y'(t)
D^2y=y''(t)