已知：如图,在△ABC中,∠C＝90°,点D、P分别在边AC、AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD,垂足分别为点E、F.（1）当∠A＝30°时,求证：PE+PF＝BC（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时,试问以上结论是否依然正确?如

已知：如图,在△ABC中,∠C＝90°,点D、P分别在边AC、AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD,垂足分别为点E、F.（1）当∠A＝30°时,求证：PE+PF＝BC（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时,试问以上结论是否依然正确?如




已知：如图,在△ABC中,∠C＝90°,点D、P分别在边AC、AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD,垂足分别为点E、F.
（1）当∠A＝30°时,求证：PE+PF＝BC
（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时,试问以上结论是否依然正确?如果正确,请加以证明：如果不正确,请说明理由.

已知：如图,在△ABC中,∠C＝90°,点D、P分别在边AC、AB上,且BD=AD,PE⊥BD,PF⊥AD,垂足分别为点E、F.（1）当∠A＝30°时,求证：PE+PF＝BC（2）当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时,试问以上结论是否依然正确?如
连接DP,△ADB的面积=△DPB的面积+△DPA的面积
1/2×AD×BC=1/2×BD×PE+1/2×PF×AD
BD=AD,PE+PF＝BC
或
因为∠A＝30°,∠C＝90°,PE⊥BD,PF⊥AD
所以PF=1/2PA,∠B=60°,BC=1/2AB
所以PE=1/2BP
因为PA+BP=AB
所以PE+PF=1/2(PA+BP)=AB
(2)∵ BD=AD
∴∠DBA＝∠A
且 PE⊥BD,PF⊥AD,∠C＝90°
∴ △ABC∽△BPE∽△APF
∴BC/BA=EP/BP=FP/PA
∴EP＝(CB·BP)/BA
FP＝(CB·PA)/BA
又BP＋PA＝BA
∴PE+PF＝CB(BP＋PA)/BA＝(CB·BA)/BA＝CB

1、连接DP，△ADB的面积=△DPB的面积+△DPA的面积
1/2×AD×BC=1/2×BD×PE+1/2×PF×AD
BD=AD，PE+PF＝BC
2、正确，证明方法同上

1，
因为∠A＝30°，∠C＝90°，PE⊥BD，PF⊥AD
所以PF=1/2PA,∠B=60°,BC=1/2AB
所以PE=1/2BP
因为PA+BP=AB
所以PE+PF=1/2(PA+BP)=AB
2,没时间做了不好意思

1)∠A＝30°△ABC中，∠C＝90° BC=1/2AB
△PBE与△PFA是直角三角形 BD=AD ∠EBP=∠A＝30°
PE=1/2PB PF=1/2PA
PE+PF=1/2(PB+PA)=1/2AB=BC
2)正确
BC=ABsin∠A
PE+PF=(PBsin∠A+PAsin∠A)=ABsin∠A=BC

1、连接DP，△ADB的面积=△DPB的面积+△DPA的面积
1/2×AD×BC=1/2×BD×PE+1/2×PF×AD
BD=AD，PE+PF＝BC
或
因为∠A＝30°，∠C＝90°，PE⊥BD，PF⊥AD
所以PF=1/2PA,∠B=60°,BC=1/2AB
所以PE=1/2BP
因为PA+BP=AB
所以PE+P...

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1、连接DP，△ADB的面积=△DPB的面积+△DPA的面积
1/2×AD×BC=1/2×BD×PE+1/2×PF×AD
BD=AD，PE+PF＝BC
或
因为∠A＝30°，∠C＝90°，PE⊥BD，PF⊥AD
所以PF=1/2PA,∠B=60°,BC=1/2AB
所以PE=1/2BP
因为PA+BP=AB
所以PE+PF=1/2(PA+BP)=AB
2
连接DP，利用三角形面积来解
△ADB的面积=△DPB的面积+△DPA的面积
1/2×AD×BC=1/2×BD×PE+1/2×PF×AD
BD=AD，PE+PF＝BC
正确

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1.当∠A＝30°时
BC=AB*sinA=AB*sin30=1/2AB
因为BD=AD 三角形ABD为等腰三角形
∠ABD=∠A＝30°
在直角三角形APF中
PF=PA**sin30=1/2PA
在直角三角形BPE中
PE=PB**sin30=1/2PB
PE+PF=1/2PA+1/2PB=1/2AB=BC

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1.当∠A＝30°时
BC=AB*sinA=AB*sin30=1/2AB
因为BD=AD 三角形ABD为等腰三角形
∠ABD=∠A＝30°
在直角三角形APF中
PF=PA**sin30=1/2PA
在直角三角形BPE中
PE=PB**sin30=1/2PB
PE+PF=1/2PA+1/2PB=1/2AB=BC
2.当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时，
在直角三角形APF和直角三角形ABC中
∠AFP=∠C=90
∠A为相同角
所以直角三角形APF和直角三角形ABC相似
PA/AB=PF/BC
在直角三角形APF和直角三角形BPE中
∠APF=∠BEP=90
又因为BD=AD 三角形ABD为等腰三角形
所以∠A =∠ABD
所以直角三角形APF和直角三角形BPE相似
PE/PF=PB/PA
(PE+PF)/PF=(PA+PB)/PA
(PE+PF)/PF=AB/PA
PF/(PE+PF)=PA/AB
所以PF/BC=PF/(PE+PF)
PE+PF=BC
当∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时，以上结论依然正确

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将RT△BEP沿斜边BP反射为镜像RT△BE'P.
由BD=AD得∠ABD=∠A
所以∠E'BC=∠ABC+∠E'BP=∠ABC+∠EBP=∠ABC+∠A=直角
所以有矩形BCFE', 故BC=E'F=E'P+PF=EP+PF

(1)∵ ∠A＝30°，BD=AD
∴ ∠DBA＝30°
又∵ PE⊥BD，PF⊥AD，∠C＝90°
∴ PE＝BP/2，PF＝PA/2，BC＝BA/2
∵ BP＋PA＝BA
∴ PE＋PF＝（PB＋PA）/2＝BA/2＝BC
(2)∵ BD=AD
∴∠DBA＝∠A
且 PE⊥BD，PF⊥AD，，...

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(1)∵ ∠A＝30°，BD=AD
∴ ∠DBA＝30°
又∵ PE⊥BD，PF⊥AD，∠C＝90°
∴ PE＝BP/2，PF＝PA/2，BC＝BA/2
∵ BP＋PA＝BA
∴ PE＋PF＝（PB＋PA）/2＝BA/2＝BC
(2)∵ BD=AD
∴∠DBA＝∠A
且 PE⊥BD，PF⊥AD，，∠C＝90°
∴ △ABC∽△BPE∽△APF
∴BC/BA=EP/BP=FP/PA
∴EP＝(CB·BP)/BA
FP＝(CB·PA)/BA
又BP＋PA＝BA
∴PE+PF＝CB(BP＋PA)/BA＝(CB·BA)/BA＝CB

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因为BD＝AD
所以三角形ABD是等腰三角形
AB是底边，BC是腰AD上的高。
因此你的问题就转化为下面的一般性问题：
“等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高”
这个结论的详细证明（两种方法）在我的空间，只是请注意图形和字母标注与你的图形不同，供参考！
1）（证明方法见我的空间的解答）
2）结论PE+PF＝BC 仍...

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因为BD＝AD
所以三角形ABD是等腰三角形
AB是底边，BC是腰AD上的高。
因此你的问题就转化为下面的一般性问题：
“等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高”
这个结论的详细证明（两种方法）在我的空间，只是请注意图形和字母标注与你的图形不同，供参考！
1）（证明方法见我的空间的解答）
2）结论PE+PF＝BC 仍然成立
（证明方法与上题一样）
江苏吴云超祝你学习进步

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方法1∠A＝30°△ABC中，∠C＝90° BC=1/2AB
△PBE与△PFA是直角三角形 BD=AD ∠EBP=∠A＝30°
PE=1/2PB PF=1/2PA
PE+PF=1/2(PB+PA)=1/2AB=BC 方法2∵∠C＝90°，∠A＝30...

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方法1∠A＝30°△ABC中，∠C＝90° BC=1/2AB
△PBE与△PFA是直角三角形 BD=AD ∠EBP=∠A＝30°
PE=1/2PB PF=1/2PA
PE+PF=1/2(PB+PA)=1/2AB=BC 方法2∵∠C＝90°，∠A＝30°。
∴∠B＝60°∴BC=1/2AB.
∵BD=AD
∴∠A＝角ABD=30°
∠PEB=90°
PE=1/2PB.
同理：EP=1/2AP
∴PE+PF=1/2AB
又∵BC=1/2AB.
∴PE+PF＝BC
（2），正确

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第1题利用直角三角形的性质做很简单
第2题，连接DP，利用三角形面积来解

1) 解:∠A＝30°，∠C＝90°，PE⊥BD，PF⊥AD
又BD=AD 所以∠ADB=30° 所以PF=PA/2,∠B=60°,BC=AB/2 PE=BP/2
又因为PA+BP=AB 所以PE+PF=(PA+BP)/2=AB
而△ABC为直角三角形 所以BC=AB/2 即 : PE+PF＝BC
2) 解:正确

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1) 解:∠A＝30°，∠C＝90°，PE⊥BD，PF⊥AD
又BD=AD 所以∠ADB=30° 所以PF=PA/2,∠B=60°,BC=AB/2 PE=BP/2
又因为PA+BP=AB 所以PE+PF=(PA+BP)/2=AB
而△ABC为直角三角形 所以BC=AB/2 即 : PE+PF＝BC
2) 解:正确
证明:因为BD=AD 所以 ∠ADB=∠A
在△BEP中,BE=BP*sin∠ADB=BP*sin∠A
在△AFP中,PF=AP*sin∠A
所以PE+PF=(AP+BP)*sin∠A 又在△ABC中,BC=AB*sin∠A
所以 PE+PF=(AP+BP)*sin∠A=BC
即 PE+PF＝BC 在∠A≠30°（∠A＜∠ABC）时依然正确.
回答完毕!!!!

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