作业帮设a、b、c、d满足a≤b,c≤d,a+b=c+d≠0,a3+b3=c3+d3 证明：a=c,b=d
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 10:21:32
设a、b、c、d满足a≤b,c≤d,a+b=c+d≠0,a3+b3=c3+d3 证明：a=c,b=d
设a、b、c、d满足a≤b,c≤d,a+b=c+d≠0,a3+b3=c3+d3 证明：a=c,b=d
设a、b、c、d满足a≤b,c≤d,a+b=c+d≠0,a3+b3=c3+d3 证明：a=c,b=d
如果a3+b3=c3+d3的意思是a^3+b^3=c^3+d^3的话.
两边因式分解得到(a+b)(a^2-ab+b^2)=(c+d)(c^2-cd+d^2)
因为a+b=c+d且不等于0,所以等式两边可以去掉.得到：
a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2-----(1)
(1)式等于
a^2-2ab+b^2+ab=c^2-2cd+d^2+cd
即(a-b)2+ab=(c-d)^2+cd---（2）
同样(1)也可以等于
a^2+2ab+b^2-3ab=c^2+2cd+d^2-3cd
即(a+b)^2-3ab=(c+d)^2-3cd----（3）
因为a+b=c+d,所以（3）变为-3ab=-3cd,推出ab=cd.
将ab=cd带入（2）得到
(a-b)^2=(c-d)^2
因为a≤b,c≤d,所以a-b≤0,c-d≤0,等式两边开根号为
b-a=d-c也就是a+d=c+b,加上条件a+b=c+d.
得到2a+b+d=2c+b+d,即a=c.同理得b=d.
证毕
引入立方和公式a3+b3=(a+b)*(a^2+b^2-ab),a3+b3=c3+d3,,a+b=c+d≠0,a^2+b^2-ab=c^2+d^2-cd,为了在利用条件,a+b=c+d≠0，前面的等式可以先化为（a+b)^2-3ab=(c+d)^2-3cd,ab=cd,令ab=cd=p1,,a+b=c+d≠0=p2,X^2-p2X+p1=0,它有两个根，这样在根据a≤b,c≤d,即得a=c,b=d
证明：
a+b=c+d≠0,
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),
c^3+d^3=(c+d)(c^2-cd+d^2),
因为a^3+b^3=c^3+d^3,
所以(a+b)(a^2-ab+b^2)=(c+d)(c^2-cd+d^2),
所以a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2,
即(a+b)^2-3ab=(c+d)^2...
全部展开
证明：
a+b=c+d≠0,
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),
c^3+d^3=(c+d)(c^2-cd+d^2),
因为a^3+b^3=c^3+d^3,
所以(a+b)(a^2-ab+b^2)=(c+d)(c^2-cd+d^2),
所以a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2,
即(a+b)^2-3ab=(c+d)^2-3cd,
所以ab=cd,
联立a+b=c+d,
设a+b=c+d=m,ab=cd=n,
则a,b和c,d分别是同一方程
x^2-mx+n=0的两个解。
一个二次方程最多有两个解，又a≤b,c≤d,
所以必有a=c,b=d.
或者
b=x-a,d=x-c,代入
ab=cd,则有
a(x-a)=c(x-c)
(a-c)(x-a-c)=0,
若a=c,命题得证，b=d,
若x=a+c,又x=a+b=c+d,
则有b=c,a=d,于是
a≤b=c≤d=a,
所以有a=b=c=d,
此时也有a=c,b=d.
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