a1²+a2²+a3²+……+an²≥1/n(a1+a2+a3+……+an)²这个不等式对吗?怎么证明?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/12 12:47:17
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a1²+a2²+a3²+……+an²≥1/n(a1+a2+a3+……+an)²这个不等式对吗?怎么证明?
a1²+a2²+a3²+……+an²≥1/n(a1+a2+a3+……+an)²这个不等式对吗?怎么证明?
a1²+a2²+a3²+……+an²≥1/n(a1+a2+a3+……+an)²这个不等式对吗?怎么证明?
对,这个只是柯西不等式的一个应用.
柯西不等式:
(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2 + ...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2
这里面令b1=b2=...=bn=1,带入就是你要的结果.
当a1 a2 ... an是正数的时候成立
用柯西不等式证明
这个是正确的当n=1时不等式成立
当n=2时a12+a22≥1/2(a1+a2)2
假设当n=N时 不等式成立即a12+a22+…aN2≥1/N(a1+a2+…aN)2
即N(a12+a22+…aN2)≥(a1+a2+…aN)2
则当n=N+1时(N+1) (a12+a22+…aN2+aN+12) ≥(a1+a2+…aN)2+a12+a22+…aN2+(N+1) ...
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这个是正确的当n=1时不等式成立
当n=2时a12+a22≥1/2(a1+a2)2
假设当n=N时 不等式成立即a12+a22+…aN2≥1/N(a1+a2+…aN)2
即N(a12+a22+…aN2)≥(a1+a2+…aN)2
则当n=N+1时(N+1) (a12+a22+…aN2+aN+12) ≥(a1+a2+…aN)2+a12+a22+…aN2+(N+1) aN+12≥(a1+a2+…aN)2+2 aN+1(a12+a22+…aN2)+ aN+12=(a1+a2+…aN+aN+1)2
即(a12+a22+…aN2+aN+12) ≥1/(N+1) (a1+a2+…aN+aN+1)2
则不等式在n=N+1时成立
所以不等式一直成立
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