证明对所有正实数a、b、c,1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)

证明对所有正实数a、b、c,1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)
证明对所有正实数a、b、c,1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)

证明对所有正实数a、b、c,1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)
证明：
对所有正实数a、b、c,
 

证明完毕.

因为a,b,c为正数，所以a^3+b^3+abc>=abc,b^3+c^3+abc>=abc,a^3+c^3+abc>=abc
即1/(a^3+b^3+abc)≤1/(a^2b+b^2a+abc)=1/ab(a+b+c)
同理，1/(b^3+c^3+abc)≤1/bc(a+b+c)
1/(a^3+c^3+abc)≤1/ac(a+b+c)
三式子相加，1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(a^3+c^3+abc)
≤1/ab(a+b+c)+1/bc(a+b+c)+1/ac(a+b+c)=1/abc

a、b、c>0
——》(a+b)(a-b)^2>=0
——》a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0
——》a^3+b^3+abc>=a^2b+ab^2+abc=ab(a+b+c)
——》1/(a^3+b^3+abc)<=1/[ab(a+b+c)]，
同样：1/(b^3+c^3+abc)<=1/[bc(a+b+c)]，
1/(c^3+a^3+abc)...

全部展开

a、b、c>0
——》(a+b)(a-b)^2>=0
——》a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0
——》a^3+b^3+abc>=a^2b+ab^2+abc=ab(a+b+c)
——》1/(a^3+b^3+abc)<=1/[ab(a+b+c)]，
同样：1/(b^3+c^3+abc)<=1/[bc(a+b+c)]，
1/(c^3+a^3+abc)<=1/[ca(a+b+c)]，
——》1/(a^3+b^3+abc)+1/(b^3+c^3+abc)+1/(c^3+a^3+abc)
<=1/[ab(a+b+c)]+1/[bc(a+b+c)]+1/[ca(a+b+c)]
=(a+b+c)/[abc(a+b+c)]
=1/(abc)，
命题得证。

收起