作业帮定义函数R(x)、g(x) R(x)= 1,x=0 1/q,x=p/q,q>0,p与q互素 0,x=无理数 g(x)= 1,x=有理数 0,x=无理数 书上说,R(x)在任意有限区间[a,b]上可积,而g(x)在[0,1]上不可积 我觉得这两个函数差别不大,不理解书上的结论.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 13:51:46
![定义函数R(x)、g(x) R(x)= 1,x=0 1/q,x=p/q,q>0,p与q互素 0,x=无理数 g(x)= 1,x=有理数 0,x=无理数 书上说,R(x)在任意有限区间[a,b]上可积,而g(x)在[0,1]上不可积 我觉得这两个函数差别不大,不理解书上的结论.](/uploads/image/z/11123656-16-6.jpg?t=%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%87%BD%E6%95%B0R%28x%29%E3%80%81g%28x%29+R%28x%29%3D+1%2Cx%3D0+1%2Fq%2Cx%3Dp%2Fq%2Cq%3E0%2Cp%E4%B8%8Eq%E4%BA%92%E7%B4%A0+0%2Cx%3D%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0+g%28x%29%3D+1%2Cx%3D%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0+0%2Cx%3D%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0+%E4%B9%A6%E4%B8%8A%E8%AF%B4%2CR%28x%29%E5%9C%A8%E4%BB%BB%E6%84%8F%E6%9C%89%E9%99%90%E5%8C%BA%E9%97%B4%5Ba%2Cb%5D%E4%B8%8A%E5%8F%AF%E7%A7%AF%2C%E8%80%8Cg%28x%29%E5%9C%A8%5B0%2C1%5D%E4%B8%8A%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E7%A7%AF+%E6%88%91%E8%A7%89%E5%BE%97%E8%BF%99%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%B7%AE%E5%88%AB%E4%B8%8D%E5%A4%A7%2C%E4%B8%8D%E7%90%86%E8%A7%A3%E4%B9%A6%E4%B8%8A%E7%9A%84%E7%BB%93%E8%AE%BA.)
定义函数R(x)、g(x) R(x)= 1,x=0 1/q,x=p/q,q>0,p与q互素 0,x=无理数 g(x)= 1,x=有理数 0,x=无理数 书上说,R(x)在任意有限区间[a,b]上可积,而g(x)在[0,1]上不可积 我觉得这两个函数差别不大,不理解书上的结论.
定义函数R(x)、g(x)
R(x)=
1,x=0
1/q,x=p/q,q>0,p与q互素
0,x=无理数
g(x)=
1,x=有理数
0,x=无理数
书上说,R(x)在任意有限区间[a,b]上可积,而g(x)在[0,1]上不可积
我觉得这两个函数差别不大,不理解书上的结论.
定义函数R(x)、g(x) R(x)= 1,x=0 1/q,x=p/q,q>0,p与q互素 0,x=无理数 g(x)= 1,x=有理数 0,x=无理数 书上说,R(x)在任意有限区间[a,b]上可积,而g(x)在[0,1]上不可积 我觉得这两个函数差别不大,不理解书上的结论.
这个是Riemann可积性的重要的例子,用定义来证明两函数的可积性.
Riemann积分的定义,就是对区间任意分划,当分划无限加细时,Riemann（有限）和式收敛.
对Dirichlet函数（你举的后一函数）,容易看出,当分划点都取有理数时,Riemann和为1,而分划点都取无理数时,Riemann和为0,再注意到有理数和无理数的稠密性,知Riemann和不可能收敛（有子列收敛于不同的数）.从而Dirichlet函数是Riemann不可积的.
但对Riemann函数（前一个函数）,像一般教科书上讲的,Riemann和收敛于0.事实上直观地看,取一定大小的分母,Riemann和式中,只有与分母大小相关那么多项函数值比较大,但这部分分划的小区间宽度很小；而大部分项则函数值很小,分划小区间长总和则不超过大区间长1：从而总的Riemann和可以控制得任意小.因而可以证明Riemann函数在[0,1]区间上的定积分存在,值为0.
两个函数看似相似,但有本质的区别,就是连续性不同.
一般教材中讲连续性的部分往往也会举这两个函数的例子.事实上容易看出,Dirichlet函数点点不连续；而又不难证明,Riemann函数在所有的无理数点都是连续的（把无理数直观地看成分母为“无穷大”的分数可能有助于理解）.
也就是说,Dirichlet函数连续性十分地差,不连续的函数直观上也不可积的；另一方面,Riemann函数的连续性有了很大的改观,它只有可数无穷个点是不连续的（有理点）.我们知道实数轴上的无理数是不可数的,比有理数点多得多,因而Riemann函数“几乎”就是连续的.
事实上,在实变函数的理论中,可以证明更一般的结论：有界函数在区间上Riemann可积（定积分存在）的充分必要条件就是函数在区间上“几乎处处”连续,即不连续点集是零测集（[0,1]上的有理数就是零测集）.我们看出正是连续性的差异使两个函数的可积性有巨大的差异.
关于上面两个函数可积性证明的细节,还是请你仔细阅读教材,我只能在此粗略地给出一个直观的证明思路.大部分数学分析的教材都有这两个函数的例子,如果还不明晰,多找几本数学分析的教材做参考是有好处的.
http://zhidao.baidu.com/question/30075755.html
我也不懂,链接这里,有大侠