作业帮求证：在锐角三角形ABC中,sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 11:50:57
求证：在锐角三角形ABC中,sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
求证：在锐角三角形ABC中,sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
求证：在锐角三角形ABC中,sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
在锐角三角形ABC中,A+B>π/2,
A>π/2-B,
sinA>sin(π/2-B)=cosB,
同理,sinB>cosC,sinC>cosA,
相加得sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
sin（π/2－α）＝cosα
所以所证不等式转化为：
[sinA-sina(π/2-A)]+[sinB-sina(π/2-B)]+[sinC-sina(π/2-C)]>0
2cosπ/4[sin(A-π/4)+sin(B-π/4)+sin(C-π/4)]>0
由于是锐角三角形，A-π...
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sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
sin（π/2－α）＝cosα
所以所证不等式转化为：
[sinA-sina(π/2-A)]+[sinB-sina(π/2-B)]+[sinC-sina(π/2-C)]>0
2cosπ/4[sin(A-π/4)+sin(B-π/4)+sin(C-π/4)]>0
由于是锐角三角形，A-π/4，B-π/4，C-π/4中最多只有一个小于零。
不妨设C-π/4<0，C>0，那么0>C-π/4>-π/4,0>sin(C-π/4)>-sinπ/4.
而剩下的两个角中，一定有一个大于π/4，所以
sin(A-π/4)+sin(B-π/4)+sin(C-π/4)>0
2cosπ/4>0
故而
2cosπ/4[sin(A-π/4)+sin(B-π/4)+sin(C-π/4)]>0
原不等式得证。
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