作业帮证明任意四面体至少存在一个顶点,使得过该顶点的三条棱可以是三角形的三条边.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 23:39:18
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证明任意四面体至少存在一个顶点,使得过该顶点的三条棱可以是三角形的三条边.
证明任意四面体至少存在一个顶点,使得过该顶点的三条棱可以是三角形的三条边.
证明任意四面体至少存在一个顶点,使得过该顶点的三条棱可以是三角形的三条边.
反证法.假设任意顶点的3条棱都不构成三角形,
设四面体ABCD最长边为AB=a,设其邻边BC=b,BD=c,AD=d,AC=e
则由假设与AB的最长性质可知：a≥d+e(过顶点A),a≥b+c(过顶点B)
于是2a≥b+c+d+e,
而由AB,BC,AC构成三角形知a＜b+e,AB,BD,AD构成三角形知a＜c+d
于是2a＜b+c+d+e
矛盾!
所以命题成立!
这是imo的老题，只有两种人做得出来，一种是知道这题的，一种是知道会考这题的
反证:假设任意顶点的3条棱都不构成三角形 不妨设e是最长的一条边 如图，若不构成三角形，则e>=a+b,e>=c+d 所以2e>=a+b+c+d.............................(1) 但在左右两个三角形中，a+d>e,b+c>e 所以2e<a+b+c+d.............................(2) 显然，(1)与(2)矛盾 反证不成立，所以原命题成立，即证明任意四面体至少存在一个顶点，使得过该顶点的三条棱可以是三角形的三条边。
证明任意四面体至少存在一个顶点,使得过该顶点的三条棱可以是三角形的三条边.
证明：任意给定一个四面体,则至少存在一个顶点,使得过该顶点的三条棱可以构成一个三角形.证明：以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点.
证明任意四面体至少一个顶点的三条棱可以构成一个三角形证明“任意四面体至少一个顶点的三条棱可以构成一个三角形
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