作业帮试说明三个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数最好用反证法,急
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 14:43:02
试说明三个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数最好用反证法,急
试说明三个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数
最好用反证法,急
试说明三个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数最好用反证法,急
不知道 自己好好想想就知道了
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试说明三个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数
证明：设这三个连续自然数是n-1，n，n+1.则（n-1）²+n²+（n+1）²=3n²+2.
I.当n为奇数时，3n²是奇数，3n²+2是奇数，不妨设n=2k+1.假设此时能表示成一个完全平方数，不妨设3n²+2=（2m+1）²，则由假设知
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试说明三个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数
证明：设这三个连续自然数是n-1，n，n+1.则（n-1）²+n²+（n+1）²=3n²+2.
I.当n为奇数时，3n²是奇数，3n²+2是奇数，不妨设n=2k+1.假设此时能表示成一个完全平方数，不妨设3n²+2=（2m+1）²，则由假设知
3（2k+1）²+2=（2m+1）²，即12k²+12k+4=4m²+4m，3k(k+1)+1=m(m+1).
因为k(k+1)、m(m+1)为偶数，所以3k(k+1)+1是奇数，m(m+1)是偶数。出现奇数=偶数的矛盾，所以假设错误。即当n为奇数时，3n²+2不是完全平方数；
II.n为偶数时，3n²是偶数，3n²+2是偶数，不妨设n=2k.假设此时能表示成一个完全平方数，不妨设3n²+2=（2m）²，则由假设知
3（2k）²+2=（2m）²，可得12k²+2=4m²，6k²+1=2m²，也出现了奇数=偶数的矛盾.所以假设错误，即当n为偶数时，3n²+2不是完全平方数.
综上所述，任意三个连续自然数的平方和均不能表示成一个完全平方数.（向州）
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设a为自然数，a2+(a+1)2+(a+3)2=3a2+10a+10为一数（a+n）的完全平方数，n>3即
3a2+10a+10=a2+2na+n2
2a2+2(5-n)a+10-n2=0
n<=3,a非实数
n=4,a非自然数
n=5,a非自然数
n>=6,。。。
设中间的自然数为n
则三个自然数为n-1, n, n+1
平方和为
(n-1)^2+n^2+(n+1)^2
=n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1
=3n^2+2
完全平方数表达式为N^2
现在讨论 3n^2+2 = N^2 是否有解,即找到相应的n和N使等式成立
题目转化为,两个曲线 y=3n^2+2, y=N^2 是否存在交...
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设中间的自然数为n
则三个自然数为n-1, n, n+1
平方和为
(n-1)^2+n^2+(n+1)^2
=n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1
=3n^2+2
完全平方数表达式为N^2
现在讨论 3n^2+2 = N^2 是否有解,即找到相应的n和N使等式成立
题目转化为,两个曲线 y=3n^2+2, y=N^2 是否存在交点
画个草图就知道,曲线 y=3n^2+2 收口要相对的小,并且在 y=N^2 之上
所以两个曲线不存在交点,更不用说自然数的交点了.
所以无法找到相应的n和N!
命题证毕!
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假设三个连续自然数的平方和是一个完全平方数。则
设a为自然数，a2+(a+1)2+(a+2）2=3a2+6a+5为一数（ak+b）的完全平方数，
化简得，3a2+6a+5=a2k2+2abk+b2
两边对照，即有1、3=a2, 2、6=2ab(3=ab),3、5=b2。又因为·a2k2+2abk+b2为完全平方数，即整数。所以矛盾，即假设不成立。...
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假设三个连续自然数的平方和是一个完全平方数。则
设a为自然数，a2+(a+1)2+(a+2）2=3a2+6a+5为一数（ak+b）的完全平方数，
化简得，3a2+6a+5=a2k2+2abk+b2
两边对照，即有1、3=a2, 2、6=2ab(3=ab),3、5=b2。又因为·a2k2+2abk+b2为完全平方数，即整数。所以矛盾，即假设不成立。
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