已知函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(1)用a分别表示b,c;(2)如果当x大于或等于2时,f(x)+1-x^3大于或等于0恒成立,求实数a的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/07 05:22:49
![已知函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(1)用a分别表示b,c;(2)如果当x大于或等于2时,f(x)+1-x^3大于或等于0恒成立,求实数a的取值范围.](/uploads/image/z/11262318-6-8.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dax%5E3%2Bbx%2Bc%28a%E2%89%A00%29%E5%9C%A8%E7%82%B9%281%2Cf%281%29%29%E5%A4%84%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8B%E4%B8%BAy%3Dx-1.%281%29%E7%94%A8a%E5%88%86%E5%88%AB%E8%A1%A8%E7%A4%BAb%2Cc%3B%282%29%E5%A6%82%E6%9E%9C%E5%BD%93x%E5%A4%A7%E4%BA%8E%E6%88%96%E7%AD%89%E4%BA%8E2%E6%97%B6%2Cf%28x%29%2B1-x%5E3%E5%A4%A7%E4%BA%8E%E6%88%96%E7%AD%89%E4%BA%8E0%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
已知函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(1)用a分别表示b,c;(2)如果当x大于或等于2时,f(x)+1-x^3大于或等于0恒成立,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(1)用a分别表示b,c;
(2)如果当x大于或等于2时,f(x)+1-x^3大于或等于0恒成立,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.(1)用a分别表示b,c;(2)如果当x大于或等于2时,f(x)+1-x^3大于或等于0恒成立,求实数a的取值范围.
1、
把x=1代入y=x-1,得:y=0
所以,f(1)=0,即:a+b+c=0 ①
f'(1)=1,f'(x)=3ax²+b,
所以,3a+b=1 ②
由①②得:b=1-3a,c=2a-1
2、
f(x)=ax³-(3a-1)x+2a-1
f(x)+1-x³≧0对x≧2恒成立
ax³-3ax+2a+x-x³≧0对x≧2恒成立
a(x³-3x+2)+x-x³≧0
a(x-1)²(x+2)-x(x-1)(x+1)≧0
x-1>0,所以,a(x-1)(x+2)-x(x+1)≧0
a(x-1)(x+2)≧x(x+1)对x≧2恒成立
a≧x(x+1)/(x-1)(x+2)对x≧2恒成立
令g(x)=x(x+1)/(x-1)(x+2),x≧2
则:a≧g(x)max
g'(x)=[(2x+1)(x-1)(x+2)-(2x+1)x(x+1)]/(x-1)²(x+2)²
=-2(2x+1)/(x-1)²(x+2)²
因为x≧2,所以,g'(x)
1、
把x=1代入y=x-1,得:y=0
所以,f(1)=0,即:a+b+c=0 ①
f'(1)=1,f'(x)=3ax²+b,
所以,3a+b=1 ②
由①②得:b=1-3a,c=2a-1
2、
f(x)=ax³-(3a-1)x+2a-1
f(x)+1-x³≧0对x≧2恒成立
ax...
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1、
把x=1代入y=x-1,得:y=0
所以,f(1)=0,即:a+b+c=0 ①
f'(1)=1,f'(x)=3ax²+b,
所以,3a+b=1 ②
由①②得:b=1-3a,c=2a-1
2、
f(x)=ax³-(3a-1)x+2a-1
f(x)+1-x³≧0对x≧2恒成立
ax³-3ax+2a+x-x³≧0对x≧2恒成立
a(x³-3x+2)+x-x³≧0
a(x-1)²(x+2)-x(x-1)(x+1)≧0
x-1>0,所以,a(x-1)(x+2)-x(x+1)≧0
a(x-1)(x+2)≧x(x+1)对x≧2恒成立
a≧x(x+1)/(x-1)(x+2)对x≧2恒成立
令g(x)=x(x+1)/(x-1)(x+2),x≧2
则:a≧g(x)max
g'(x)=[(2x+1)(x-1)(x+2)-(2x+1)x(x+1)]/(x-1)²(x+2)²
=-2(2x+1)/(x-1)²(x+2)²
因为x≧2,所以,g'(x)<0
所以,g(x)递减,
则:g(x)max=g(2)=3/2
所以,a≧3/2
祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O
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