作业帮证明:矩阵旋转90度 奇异值不变设A是复数域上m*n维的矩阵,B是A经过顺时针旋转90度所形成的n*m维矩阵证明:A和B一定具有完全相同的奇异值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 11:44:12
证明:矩阵旋转90度 奇异值不变设A是复数域上m*n维的矩阵,B是A经过顺时针旋转90度所形成的n*m维矩阵证明:A和B一定具有完全相同的奇异值.
证明:矩阵旋转90度 奇异值不变
设A是复数域上m*n维的矩阵,B是A经过顺时针旋转90度所形成的n*m维矩阵
证明:A和B一定具有完全相同的奇异值.
证明:矩阵旋转90度 奇异值不变设A是复数域上m*n维的矩阵,B是A经过顺时针旋转90度所形成的n*m维矩阵证明:A和B一定具有完全相同的奇异值.
这个题是数值线性代数（人民邮电出版社）的4.2题吧.
B=A'C,其中矩阵C为副对角线为1,其余元素为0的m*m矩阵（也就是从右上角到左下角的对角线）,则B"B=(A'C)"(A'C)=C(AA")'C,由于CC=E,得C的逆矩阵为它本身,故B"B和(AA")'相似,二者有相同的特征值,B"B和AA"有相同的特征值,得到B与A有相同的奇异值.
注：1.A'表示矩阵A的转置,A"表示矩阵A的伴随矩阵；
2.AA"与A"A有相同的非负实特征值.
这题挺简单啊。
其实把A顺时针旋转90度得到B，而B与A'（即A的转置矩阵）具有相同的奇异值（因为B与A'的区别只是列的顺序颠倒了，不会影响奇异值）
所以只需证明A与A'具有相同奇异值即可。
根据定理（那个定理我忘了，肯定有，好像是关于奇异值分解的），
A=U*S*V，其中S就是奇异值的对角矩阵。则
A'=(U*S*V)'=V'*S'*U'，因S为对角矩阵，...
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这题挺简单啊。
其实把A顺时针旋转90度得到B，而B与A'（即A的转置矩阵）具有相同的奇异值（因为B与A'的区别只是列的顺序颠倒了，不会影响奇异值）
所以只需证明A与A'具有相同奇异值即可。
根据定理（那个定理我忘了，肯定有，好像是关于奇异值分解的），
A=U*S*V，其中S就是奇异值的对角矩阵。则
A'=(U*S*V)'=V'*S'*U'，因S为对角矩阵，故S=S'，所以A与A'有相同的奇异值。
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二楼的回答基本到位，只是需要注意：
1.楼主问的是复矩阵，所以仍需说明共轭运算不改变奇异值(因为酉阵的共轭仍是酉阵)。
2.对于奇异值分解定理，不管是完整形式还是精简形式，一般都写成A=U*S*V'(复的话写成V^H)。当然，这个写法对这道题没啥影响。...
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二楼的回答基本到位，只是需要注意：
1.楼主问的是复矩阵，所以仍需说明共轭运算不改变奇异值(因为酉阵的共轭仍是酉阵)。
2.对于奇异值分解定理，不管是完整形式还是精简形式，一般都写成A=U*S*V'(复的话写成V^H)。当然，这个写法对这道题没啥影响。
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太深奥了。