一道概率论与数理统计的问题~.设两个不同的电子元件的使用寿命分别为X,Y(以小时计) 且X与Y相互独立,其概率密度分别为f(x)= 1000/x^2 (x>1000) 0 (其他)f(y)=1000/y^2 (y>1000) 0 (其他)求Z=X/Y的概率密度fz

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 23:37:03
一道概率论与数理统计的问题~.设两个不同的电子元件的使用寿命分别为X,Y(以小时计) 且X与Y相互独立,其概率密度分别为f(x)= 1000/x^2 (x>1000) 0 (其他)f(y)=1000/y^2 (y>1000) 0 (其他)求Z=X/Y的概率密度fz
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一道概率论与数理统计的问题~.设两个不同的电子元件的使用寿命分别为X,Y(以小时计) 且X与Y相互独立,其概率密度分别为f(x)= 1000/x^2 (x>1000) 0 (其他)f(y)=1000/y^2 (y>1000) 0 (其他)求Z=X/Y的概率密度fz
一道概率论与数理统计的问题~.
设两个不同的电子元件的使用寿命分别为X,Y(以小时计) 且X与Y相互独立,其概率密度分别为
f(x)= 1000/x^2 (x>1000) 0 (其他)
f(y)=1000/y^2 (y>1000) 0 (其他)
求Z=X/Y的概率密度fz(z)

一道概率论与数理统计的问题~.设两个不同的电子元件的使用寿命分别为X,Y(以小时计) 且X与Y相互独立,其概率密度分别为f(x)= 1000/x^2 (x>1000) 0 (其他)f(y)=1000/y^2 (y>1000) 0 (其他)求Z=X/Y的概率密度fz

FZ(z)=P(Z<=z)=P(X<=zY)


f(x,y)=10^6 (xy)^(-2)


若x>y(z>1)

P(X<=zY)=10^6∫(1000~无穷)∫(1000~zy) (xy)^(-2) dxdy

             =10^6∫(1000~无穷)y^(-2)(1/1000-(zy)^(-1))dy

             =10^6∫(1000~无穷)-y^(-1)/1000+[z^(-1)(y)^(-2)]/2 dy

            =10^6(0+10^(-6)-(1000)^(-2)z^(-1)/2)

             =1-z^(-1)/2



x<y时有些不一样,y出现了高於1000的下限



若x<y (0<z<1)

P(X<=zY)=10^6∫(1000/z~无穷)∫(1000~zy) (xy)^(-2) dxdy

               =10^6∫(1000/z~无穷)-y^(-1)/1000+[z^(-1)(y)^(-2)]/2 dy

               =10^6(0+10^(-6)z-(1000/z)^(-2)z^(-1)/2)

               =z/2


Fz(z)=1-z^(-1)/2   z>1

        =z/2            0<z<1

 

fz(z)=z^(-2)/2      z>1

       =1/2            0<z<1