作业帮Lebesgue积分题若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|dx=2/π*∫（a→b）f(x)dx有能做出来的或者能提供思路的都行啊……好的必有重赏!鉴于一楼的答案，提醒回答者注意
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 17:47:51
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Lebesgue积分题若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|dx=2/π*∫（a→b）f(x)dx有能做出来的或者能提供思路的都行啊……好的必有重赏!鉴于一楼的答案，提醒回答者注意
Lebesgue积分题
若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：
当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|dx=2/π*∫（a→b）f(x)dx
有能做出来的或者能提供思路的都行啊……好的必有重赏!
鉴于一楼的答案，提醒回答者注意两点：
①这是Lebesgue可积，并没有f(x)连续的条件，所以积分中值定理慎用
②积分上下限是a→b，不是0→π/2
Lebesgue积分题若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|dx=2/π*∫（a→b）f(x)dx有能做出来的或者能提供思路的都行啊……好的必有重赏!鉴于一楼的答案，提醒回答者注意
只需用连续函数逼近就可以了.
注意到对任意的连续函数g(x)有 lim 积分（从a到b）g(x)|sinnx|dx=2/pi *积分（从a到b）g(x)dx.
对任意的e>0,存在一个连续函数g(x),使得 积分（从a到b）|f(x)--g(x)|dx
<=|积分（从a到b）f(x)|sinnx|dx--积分（从a到b）g(x)|sinnx|dx |
+|积分（从a到b）g(x)|sinnx|dx--2/p*积分（从a到b）g(x)dx |
+|2/p*积分（从a到b）g(x)dx--2/p*积分（从a到b）f(x)dx|
上式中第一第三两项均不超过积分（从a到b）|f(x)--g(x)|dx.
我同学帮你解决了，答案送上！
1. 先证 f 是常数的情况，因为 ∫（a→b）= ∫（0→b）- ∫（0→a），所以只需证 :
∫（0→b）sin|nx|dx=2b/π 即可. 设 kπ/n <= b <= (k+1)π/n，函数 sin|nx| 在[0, b]上的积分就可以被夹逼出来了，
S1 = ∫（0→kπ/n）sin|nx|dx <= S = ∫（0→b...
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我同学帮你解决了，答案送上！
1. 先证 f 是常数的情况，因为 ∫（a→b）= ∫（0→b）- ∫（0→a），所以只需证 :
∫（0→b）sin|nx|dx=2b/π 即可. 设 kπ/n <= b <= (k+1)π/n，函数 sin|nx| 在[0, b]上的积分就可以被夹逼出来了，
S1 = ∫（0→kπ/n）sin|nx|dx <= S = ∫（0→b）sin|nx|dx <= ∫（0→(k+1)π/n）sin|nx|dx = S2
S1 = k ∫（0→π/n）sin(nx) dx =2k/n, S2 = (k+1) ∫（0→π/n）sin(nx) dx = 2(k+1)/n
由 kπ/n <= b <= (k+1)π/n 知道，n趋于无穷的时候，k/n -> b/π，(k+1)/n->b/π. 于是就得到了
n→∞，S -> 2b/π，得证。
2.f 在[a,b]上Lebesgue可积，那么可以用阶梯函数逼近，每个阶梯函数在[a,b]上的小区间都是常数，由1的证明，上面的式子都成立 ，那么由课本上的定理，阶梯函数极限几乎处处趋于f，那么在[a,b]上积分极限就等于 f 在[a,b]的积分。证完！
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将区间均分为n份，分点为xi=ipi/2n，i=0,1,2,...,n。原积分写为n个区间的积分和，再在每个区间上用积分中值定理，＝求和_{i=1到n}f(yi)积分_{x_{i-1}到x_i}|sinnx|dx=2/pi×求和_{i=0到n}f(yi)pi/(2n)，当n趋于无穷时，后者是积分和，极限就是f的积分值。中间要用到在每个子区间上
|sinnx|的积分为1，可以用变量很容易得到...
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将区间均分为n份，分点为xi=ipi/2n，i=0,1,2,...,n。原积分写为n个区间的积分和，再在每个区间上用积分中值定理，＝求和_{i=1到n}f(yi)积分_{x_{i-1}到x_i}|sinnx|dx=2/pi×求和_{i=0到n}f(yi)pi/(2n)，当n趋于无穷时，后者是积分和，极限就是f的积分值。中间要用到在每个子区间上
|sinnx|的积分为1，可以用变量很容易得到。
积分_{x_{i-1}到x_i}|sinnx|dx=积分_{从(i-1)pi/2到ipi/2}{|sinz|dz}/n，这一步是令nx＝z。
积分_{从(i-1)pi/2到ipi/2}{|sinz|dz}＝积分_{0到pi/2}{|sinz|dz}＝1，这一步是令z-(i-1)pi/2=x
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其实2楼的答案就很好啊，只用考虑f是常数就可以啊，因为这已经包括了所有区间的情况。同时也就证明了测度|sin(nx)|dx弱收敛于Lebesgue测度啊，因为在每个区间上都是收敛的。