函数y=f(x) x属于R满足f(x)是偶函数,又f(0)=2003,g(x)=f(x-1)为奇函数则f(2004)等于多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 06:56:05
函数y=f(x) x属于R满足f(x)是偶函数,又f(0)=2003,g(x)=f(x-1)为奇函数则f(2004)等于多少?
函数y=f(x) x属于R满足f(x)是偶函数,又f(0)=2003,g(x)=f(x-1)为奇函数则f(2004)等于多少?
函数y=f(x) x属于R满足f(x)是偶函数,又f(0)=2003,g(x)=f(x-1)为奇函数则f(2004)等于多少?
g(x)=f(x-1)
g(-x)=f(-x-1)
因为g(x)是奇函数,
所以 g(x)+g(-x)=0
即
f(x-1)+f(-x-1)=0
f(x-1)=-f(-x-1)
又f(x)是偶函数
所以
f(-x-1)=f(x+1)
f(x-1)=-f(x+1)
f(x+1)=f[(x+2)-1]=-f[-(x+2)-1]
=-f(-x-3)
所以
f(x-1)=f(-x-3)=f(x+3)
周期=4
所以
f(2004)=f(0)=2003
函数g(x)是由函数f(x)向右平移一个单位得到,而且图象关于原点对称,
所以函数f(x)图象是关于点(-1,0)成中心对称,
又因为函数f(x)是偶函数,所以图象关于y轴成轴对称,且关于(1,0)成中心对称,
综合上述,f(x)图象关于y轴以及(-1,0),(1,0)对称.
所以对称轴与相邻对称中心的距离为1,
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函数g(x)是由函数f(x)向右平移一个单位得到,而且图象关于原点对称,
所以函数f(x)图象是关于点(-1,0)成中心对称,
又因为函数f(x)是偶函数,所以图象关于y轴成轴对称,且关于(1,0)成中心对称,
综合上述,f(x)图象关于y轴以及(-1,0),(1,0)对称.
所以对称轴与相邻对称中心的距离为1,
根据图象对称中的结论可得:f(x)的周期4×1=4,
所以f(2004)=f(0)=2003.
故答案为:2003.
收起
由已知条件可知f(x+1)=-f(x-1)
得:
f(2004)=2003