三等分角如何三等分一个任意角?

三等分角如何三等分一个任意角?
三等分角
如何三等分一个任意角?

三等分角如何三等分一个任意角?
“尺规三等分任意角”,这曾是令无数数学家为难而又兴奋的难题.阿基米德曾证明过,虽然表面上是证明了,但他犯了一个致命的错误,就是他所用的条件超出了题给条件,这是不允许的.直到19世纪中期左右,这道曾难倒无数数学家的难题,被证明不可有限步内实现后,法国科学院对此题的任何文章或论文一概不受理,只给收集,且不对外宣传.但至今每年仍有很多人宣称解决了这道题.
“尺规三等分任意角”,这是我初中时一位数学老师留给我的一个问题,他那时就告诉我是数学界十大难题,从那以后,不知何故,我一直未能忘掉,也非一直萦绕在脑里,而是像哈雷慧星似的周期性地出现,每次都令我兴奋而始失望而终.直到我念硕二上学期的一个晚上,我突然悟出了一个解法.但那时我不敢确定这道题是否十大难题,于是,我去图书馆查询,终于,在一本不显眼的小书里找到了.那里头的证法比较复杂,与我的解法相比是这样的.
我的证法如下：
尺规二等分任意角,这是很容易做到的,于是4（2^2）、8（2^3）、16（2^4）,……的等分也很容易就能做到.若把角对应的弧长设为1,那么这些等分对应弧长的1/2、1/4、1/8、1/16……容易得到.要三等分任意角,使角对应的弧长三等分即可,也就是如何取得弧长的1/3的问题.
很容易想到的是,应探讨1/3与1/2、1/4、1/8、1/16……之间的关系.不难发现：
从上面的式子中,可以看出,三等分任意角是可以做到的,但不可能在有限步内达到,这就是我的证明.
这个证法应该是很简单的,主要是运用高等数学里级数的概念来解决这个平面几何的问题.另一方面,也可以看出在数学里头,数与数之间有一种很微妙的转化关系.我在作这道题的时候,根本没用尺规,这也就是在某种意义上验证了数学的抽象性.
欢迎各位数学爱好者批评指正!(里面数学符号表达不出来)

用相似三角形原理来作：
先以这个角为顶角作一个等腰三角形。
以这个三角形的腰长为一个单位长度，在两个角边上，以角顶点为一端，取3个单位长度的线段
连接两个角边上的这两个取到的点，所得线段是原来那个等腰三角形底边的3倍
把所得线段3等分（以原来的等腰三角形的底边为基准），中间的两个等分点和角顶点连接，所得3个角就是相等的...

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用相似三角形原理来作：
先以这个角为顶角作一个等腰三角形。
以这个三角形的腰长为一个单位长度，在两个角边上，以角顶点为一端，取3个单位长度的线段
连接两个角边上的这两个取到的点，所得线段是原来那个等腰三角形底边的3倍
把所得线段3等分（以原来的等腰三角形的底边为基准），中间的两个等分点和角顶点连接，所得3个角就是相等的

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用相似三角形原理来作：
先以这个角为顶角作一个等腰三角形。
以这个三角形的腰长为一个单位长度，在两个角边上，以角顶点为一端，取3个单位长度的线段
连接两个角边上的这两个取到的点，所得线段是原来那个等腰三角形底边的3倍
把所得线段3等分（以原来的等腰三角形的底边为基准），中间的两个等分点和角顶点连接，所得3个角就是相等的
古希腊三个著名问题之一的三等...

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用相似三角形原理来作：
先以这个角为顶角作一个等腰三角形。
以这个三角形的腰长为一个单位长度，在两个角边上，以角顶点为一端，取3个单位长度的线段
连接两个角边上的这两个取到的点，所得线段是原来那个等腰三角形底边的3倍
把所得线段3等分（以原来的等腰三角形的底边为基准），中间的两个等分点和角顶点连接，所得3个角就是相等的
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？
用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角．
在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则
EG=GF=GA=BA，
从中得到：
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，
并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点．
如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6．
为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．
借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法．对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus，约公元300年)．利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4．8中可以找到．
有一些超越(非代数的)曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分．在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias，约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral of Archimeds)．这两种曲线也能解圆的求积问题．关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题研究4．10．
多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规．①参看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一个有趣的工具叫做战斧，不知道是谁发明的，但是在1835年的一本书中讲述了这种工具．要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开始，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU，如图33所示．用战斧三等分∠ABC时，将这一工具放在该角上，使R落在BA上，SV通过B点，半圆与BC相切于D．于是证明：△RSB，△TSB，△TDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角．可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上．在这种条件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧，则可以五等分一个角)．
欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法，能作出相当好的近似的三等分．一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A．丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法．取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34)，设C为弦AB的靠近B点的三等分点．在C点作AB的垂线交圆于D．以B为圆心，以BD为半径，作弧交AB于E．设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G．那么，OG就是∠AOB的近似的三等分线．我们能够证明：三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大；但是，对于60°的角大约只差1〃，对于90°角大约只差18〃．
：

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不用多想，已经证明是不可能的了。

这在我初中时课本上提到过，可以用尺规平分一个角，但不可以三等分一个角，相信现在也没有得到解决，这题的证明都是不严谨的，如果非要一个真正的答案，那就是不可能三等分一个角。

可以用专门的工具来分，不是尺规

多想也没用，已经证明是不可能的了。

把你要分的哪个角的对边分成三等份不就可以了,连接到这个角,不就是三等分了,你要几等分,就找几个点噻

impossible，可用抽象代数学的相关理论证明~

三等分角是三大平面几何问题中的一个，不可能的，别想了~浪费脑细胞

用量角器量出来，然后除以3，再以相除后的角度等分原角。
如果只允许尺规作图，你就放弃吧。我学了十多年数学，只听过有人证明尺规三等分角在有限步内不可能完成，没听过有谁真正尺规三等分角了的。

用折纸法三等分任意角
在《三分角问题》一文中，我们已证明过，利用尺规作图是不能三等分任意角的．但是，利用折纸法是可以三等分任意角的．其步骤是：
（1）在一个正方形纸片上折出给出的角∠PBC，将ABCD对折记折痕为EF；再将EBCF对折，折痕为GH（如图（1））；
（2）翻折左下角使B重合在GH上记为B′，且使E重合BP上记为E′，点G折后的点记为G′，折痕记为...

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用折纸法三等分任意角
在《三分角问题》一文中，我们已证明过，利用尺规作图是不能三等分任意角的．但是，利用折纸法是可以三等分任意角的．其步骤是：
（1）在一个正方形纸片上折出给出的角∠PBC，将ABCD对折记折痕为EF；再将EBCF对折，折痕为GH（如图（1））；
（2）翻折左下角使B重合在GH上记为B′，且使E重合BP上记为E′，点G折后的点记为G′，折痕记为XY（见图（2））；
（3）折B、G’和B、B’，则BB’、BG’为∠PBC的三等分线（见下图（3））．

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尺规不能因为直线和圆是二次和一次方程儿三等分角是三次方程
用量角器可以近似方便的做出误差最小
尺规或其他方法虽然能精确做出但作图误差更大

可以查看北师大版初三上数学

在CAD软件里，一个命令就可以啊，哈哈！！！

用尺！！

若是用尺规3等分是不可能的，世界数学月刊在1997年就证明过是不可能的。大家不要浪费时间。若是用量角器就容易了