如何用定积分求面积总结一下用到的所有公式,包括极坐标的

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/04 15:39:42
如何用定积分求面积总结一下用到的所有公式,包括极坐标的
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如何用定积分求面积
总结一下用到的所有公式,包括极坐标的

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找到一个函数描述待求面的一条边的高,然后描述微元面积,求积就可以了.其实无论哪种坐标,思路是一样的.
实际上最原始的方法可以用方格子坐标纸来求面积.

a+s*π+sπ的立方米

a+s*π+sπ的立方米

如果图形可以被平行于y轴的直线贯穿且最多有两个交点，就用公式1

若可以被平行于x轴的直线贯穿且最多有两个交点，就用公式2

若可以被从原点发散的直线贯穿且最多有两个交点，就用公式3

这是用重积分求面积
曲面面积的计算推导过程

设曲面S由方程 z=
给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数 在D上具有连续偏导数 和 ，要计算曲面S的面积A。
在闭区域D上任取一直径很小的闭区域的面积 (这小闭区域的面积也记作 )。在 上取一点 ,对应地曲面S上有一点 ,点M在xOy面上的投影即点P。点M处曲面S的切平面...

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这是用重积分求面积
曲面面积的计算推导过程

设曲面S由方程 z=
给出，D为曲面S在xOy面上的投影区域，函数 在D上具有连续偏导数 和 ，要计算曲面S的面积A。
在闭区域D上任取一直径很小的闭区域的面积 (这小闭区域的面积也记作 )。在 上取一点 ,对应地曲面S上有一点 ,点M在xOy面上的投影即点P。点M处曲面S的切平面设为T。以小闭区间 的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片。由于 的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积 可以近似代替相应的那小片曲面的面积。设点M处曲面S上的法线(指向朝上)与z轴所成的角为，则
= .
因为 cos = ,
所以 = .
这就是曲面S的面积元素，以它为被积表达式在闭区域D上积分，得
A= .
上式也可写成
A= .
这就是计算曲面面积的公式。
设曲面的方程为x= 或y= ,可分别把曲面投影到yOz而上(投影区域记作D ),类似地可得
A= ，
或 A=

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