已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√a/bc+√b/ac+√c/ab≥3(√a+√b+√c)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 22:13:17
已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√a/bc+√b/ac+√c/ab≥3(√a+√b+√c)
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已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√a/bc+√b/ac+√c/ab≥3(√a+√b+√c)
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分析：
先观察一下不等式两边次数,左边-3/2次比右边1/2次小2次,正好是已知条件多项式的次数.不妨试试给左边乘以已知条件中的式子变成齐次式,以利用基本不等式证明.
将用到的基本不等式：若x、y、z都是正数,那么：
x^3+y^3+z^3>=3xyz
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz
等号成立的条件是x=y=z
这两个不等式都是平均值不等式的简单推导结论.
证明：
√a/bc+√b/ac+√c/ab
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3]/abc
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3](ab+bc+ca)/abc
=[(√a)^3+(√b)^3+(√c)^3][(√ab)^2+(√bc)^2+(√ca)^2]/abc
>=3(√a√b√c)(√ab√bc+√ab√ca+√bc√ca)/abc
=3[√(abc)][√(abc)](√a+√b+√c)/abc
=3abc(√a+√b+√c)/abc
=3(√a+√b+√c)
当且仅当a=b=c时等号成立.
证毕!

已知a,b,cϵ R^+,2a+b+c=2,则a^2+ab+bc+ca的最大值是—— 已知a,b,c属于R求证a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是a=b=c 已知a+b+c=0,求证：ab+bc+ca 已知a+b+c=0,求证：ab+bc+ca 已知a+b+c=1求证ab+bc+ca 已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√(a/bc)+√(b/ac)+√(c/ab)≥3(√a+√b+√c)拜求高手极速作答 已知a,b,c是R+,ab+bc+ca=1求证√a/bc+√b/ac+√c/ab≥3(√a+√b+√c) 已知a,b,c∈R,求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca 已知ab/a+b=1/15,bc/b+c=1/17,ca/a+c=1/16,则abc/ab+bc+ca的值是_______ 已知a,b,c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ca=1 求证：a+b+c>=根号3 已知a,b,c属于R,a+b+c>0,ab+bc+ca=1,求证:a+b+c>=根号3拜托各位大神 已知a、b、c∈R+,求证：a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab>=a^10+b^10+c^10,用排序不等式解答 已知a,b,c属于R,求证a^2+b^2+c^2大于等于ab+bc+ca 已知：a、b、c∈R,求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ca . 已知a,b,c∈R,求证a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca 已知a方+b方+c方-ab-bc-ca=0,是说明a=b=c. 已知a,b,c是正数,且ab+bc+ca=1,求证:a+b+c>=根3 已知三角形ABC三边是a b c,a平方+b平方+c平方=ab+bc+ca 判断形状