若a b c为实数且a²+b²+c²-ab-bc-ca=0求证a=b=c急求

若a b c为实数且a²+b²+c²-ab-bc-ca=0求证a=b=c急求
若a b c为实数且a²+b²+c²-ab-bc-ca=0求证a=b=c急求

若a b c为实数且a²+b²+c²-ab-bc-ca=0求证a=b=c急求
a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
两边同乘以2得：
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0
(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0
则：必有：
a-b=b-c=a-c=0
解得：a=b=c

证明：∵a²+b²+c²-ab-bc-ca=0
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0
(a²-2ab+b²)+(a²-2ac+c²)+(b²-2bc+c²)=0
(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0
∴(a-b)²=0, (a-c)²=0, (b-c)²=0
a-b=0, a-c=0, b-c=0
∴a=b, a=c, b=c
即：a=b=c.

a²＋b²＋c²－ab－ac－bc＝0
2a²＋2b²＋2c²－2ab－2ac－2bc＝0
﹙a²－2ab＋b²﹚＋﹙b²－2bc＋c²﹚＋﹙a²－2ac＋c²﹚＝0
﹙a－b﹚²＋﹙b－c﹚²＋﹙a－c﹚
...

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a²＋b²＋c²－ab－ac－bc＝0
2a²＋2b²＋2c²－2ab－2ac－2bc＝0
﹙a²－2ab＋b²﹚＋﹙b²－2bc＋c²﹚＋﹙a²－2ac＋c²﹚＝0
﹙a－b﹚²＋﹙b－c﹚²＋﹙a－c﹚²＝0
∵ ﹙a－b﹚²≥0, ﹙b－c﹚²≥0, ﹙a－c﹚²≥0
∴ a－b＝0, a＝b
b－c＝0, b＝c
a－c＝0, a＝c
∴ a＝b＝c. 证毕！

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