已知1+x+x²=0求代数式1+x+x²+...+x^2013的值

已知1+x+x²=0求代数式1+x+x²+...+x^2013的值
已知1+x+x²=0求代数式1+x+x²+...+x^2013的值

已知1+x+x²=0求代数式1+x+x²+...+x^2013的值
后面的三个一组
原式=1+(x+x²+x³)+……+(x^2011+x^2012+x^2013)
=1+x(1+x+x²)+x^4(1+x+x²)+……+x^2011(1+x+x²)
=1+0+0+……+0
=1

观察得原式有2014项而每连续三项都可以提取出公因式（1+x+x²）从而等于0，而2014不是3的倍数，2013才是，所以我们从第二项的x开始每三项提取一次公因式得到结果：
1+x+x²+...+x^2013=1+(x+x^2+x^3)+...+(x^2011+x^2012+x^2013)
=1+x(1+x+x²)+...+x^2011(1+x+x&#...

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观察得原式有2014项而每连续三项都可以提取出公因式（1+x+x²）从而等于0，而2014不是3的倍数，2013才是，所以我们从第二项的x开始每三项提取一次公因式得到结果：
1+x+x²+...+x^2013=1+(x+x^2+x^3)+...+(x^2011+x^2012+x^2013)
=1+x(1+x+x²)+...+x^2011(1+x+x²)
=1+0+...+0
=1

收起

3项一循环，共有：2013-0+1=2014项
2014÷3=671......1
∴1+x+x²+...+x^2013=1

1+x+x²+...+x^2013
为等比数列前N项和

有公式 原式=(1+x^2014) / (1-x)

1+x+x²=0无实数解
但有复数解

法二
1+x+x²+...+x^2013=1+x(1+x+x^2)+x^4(1+x+x^2)+……+x^2011(1+x+x^2)
=1