关于圆锥曲线的数学题1.已知点Q(2√2,0)及抛物线x^2=4y上一动点p(x,y),则y+|PQ|的最小值是?2.设抛物线y^2=2x的焦点为F,过点M(√3,0)的直线与抛物线相交与A,B两点,与抛物线的准线相交与C,|B
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 09:26:45
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关于圆锥曲线的数学题1.已知点Q(2√2,0)及抛物线x^2=4y上一动点p(x,y),则y+|PQ|的最小值是?2.设抛物线y^2=2x的焦点为F,过点M(√3,0)的直线与抛物线相交与A,B两点,与抛物线的准线相交与C,|B
关于圆锥曲线的数学题
1.已知点Q(2√2,0)及抛物线x^2=4y上一动点p(x,y),则y+|PQ|的最小值是?
2.设抛物线y^2=2x的焦点为F,过点M(√3,0)的直线与抛物线相交与A,B两点,与抛物线的准线相交与C,|BF|=2,则△BCF与△ACF所成的面积之比为?
关于圆锥曲线的数学题1.已知点Q(2√2,0)及抛物线x^2=4y上一动点p(x,y),则y+|PQ|的最小值是?2.设抛物线y^2=2x的焦点为F,过点M(√3,0)的直线与抛物线相交与A,B两点,与抛物线的准线相交与C,|B
1.已知点Q(2√2,0)及抛物线x^2=4y上一动点p(x,y),则y+|PQ|的最小值是?
设y+|PQ|=d(d≥0),则|PQ|=d-y,|PQ|²=(d-y)²=d²+y²-2dy,即
y²+x²+8-(4√2)y=d²+y²-2dy,整理得x²-(4√2-2d)y+8-d²=0.由抛物线方程x²=4y得y=x²/4,把y=x²/4代入x²-(4√2-2d)y+8-d²=0得x²-(2√2-d)x²/2+8-d²=0,(1-√2+d/2)x²+8-d²=0,因为x为实数,所以(1-√2+d/2)(8-d²)≤0,解不等式组1-√2+d/2≥0,
8-d²≤0,
和1-√2+d/2≤0,
8-d²≥0,得
d≤-2√2(不合题意,舍去)和d≥2√2.所以y+|PQ|的最小值是d=2√2.
2.设抛物线y²=2x的焦点为F,过点M(√3,0)的直线与抛物线相交与A,B两点,与抛物线的准线相交与C,|BF|=2,则△BCF与△ACF所成的面积之比为?
抛物线y²=2x的焦点F(1/2,0),准线为x=-1/2.设过点M(√3,0)的直线方程y=k(x-√3),点B的坐标为B(x′,y′),则有
y′=k(x′-√3),①
y′²=2x′,②
y′²+(x′-1/2)²=4.③
解方程组的过程如下:
把②代入③得x′²+x′-15/4=0,(x′+5/2)(x′-3/2)=0,x′=-5/2或x′=3/2,其中x′=-5/2不合题意.
把x′=3/2代入②得y′²=3,y′=√3或y′=-√3.
点B的坐标为B(3/2,√3)或B(3/2,-√3).
下面取B(3/2,√3)一种情况进行探讨:
把x′=3/2和y′=√3代入①得k=√3/(3/2-√3),
把k=√3/(3/2-√3)代入y=k(x-√3),得y=(√3x-3)/(3/2-√3),
直线y=(√3x-3)/(3/2-√3)与直线x=-1/2的交点的横坐标为x=-1/2,
把x=-1/2代入y=(√3x-3)/(3/2-√3)得y=(-√3/2-3)/(3/2-√3)
=(√3/2+3)/(√3-3/2)=(√3/2+3)(√3+3/2)/(3/4)=(6+15√3/4)/(3/4)
=4(2+5√3/4)=8+5√3.所以点C的坐标为C(-1/2,8+5√3).
下面求点A的坐标(取其中一种情况):
把y=(√3x-3)/(3/2-√3)代入y²=2x得[(√3x-3)/(3/2-√3)]²=2x,即(3x²-6√3x+9)/(21/4-3√3)=2x,3x²-6√3x+9=6(7/4-√3)x,
x²-2√3x+3=2(7/4-√3)x,x²-7x/2+3=0,x=2或x=3/2(点B的横坐标为3/2,故取2为点A的横坐标).
把x=2代入y=(√3x-3)/(3/2-√3)得y=(2√3-3)/(3/2-√3)
=(2√3-3)(3/2+√3)/(-3/4)=4(3-2√3)(3/2+√3)/3=(-6)/3=-2.所以点A的坐标为A(2,-2).
△BCF与△ACF的高相等,底在同一条直线上,所以它们的面积的比等于它们底边的比,它们底边的比又等于B,C两点的横坐标与点C的横坐标之差的比,也等于B,C两点的纵坐标与点C的纵坐标之差的比.即(3/2+1/2)/(2+1/2)=4:5.[或者(√3-8-5√3):(-2-8-5√3)=(8+4√3):(10+5√3)=4:5].
(由于图像的对称性,根据另外一种情况得出的结果会和上面相同.)