证明函数f(x)在区间(a,b)上是增函数的充要条件是对任意的x,x+h∈(a,b),且h≠0有f(x+h)-f(x)÷h>0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/02 18:00:17
证明函数f(x)在区间(a,b)上是增函数的充要条件是对任意的x,x+h∈(a,b),且h≠0有f(x+h)-f(x)÷h>0
证明函数f(x)在区间(a,b)上是增函数的充要条件是对任意的x,x+h∈(a,b),且h≠0有f(x+h)-f(x)÷h>0
证明函数f(x)在区间(a,b)上是增函数的充要条件是对任意的x,x+h∈(a,b),且h≠0有f(x+h)-f(x)÷h>0
证:
1、充分条件:
函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,则有对任意的x,x+h∈(a,b),且h≠0有f(x+h)-f(x)÷h>0
a:当h>0时,因为函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,又x,x+h∈(a,b),且h>0,则必定有f(x+h)-f(x)>0,进而有f(x+h)-f(x)÷h>0;
b:当h<0时,因为函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,又x,x+h∈(a,b),且h<0,则必定有f(x+h)-f(x)<0,进而有f(x+h)-f(x)÷h>0.
即函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,则有对任意的x,x+h∈(a,b),且h≠0有f(x+h)-f(x)÷h>0成立;
2、必要条件:
对任意的x,x+h∈(a,b),且h≠0有f(x+h)-f(x)÷h>0,函数f(x)在区间(a,b)上是增函数
a:当h>0时,因为对任意的x,x+h∈(a,b),且h>0有f(x+h)-f(x)÷h>0,则有f(x+h)>f(x),又h>0,故知函数f(x)在区间(a,b)上是增函数;
b:当h<0时,因为对任意的x,x+h∈(a,b),且h<0有f(x+h)-f(x)÷h>0,则有f(x+h)
综上所述,证明函数f(x)在区间(a,b)上是增函数的充要条件是对任意的x,x+h∈(a,b),且h≠0有f(x+h)-f(x)÷h>0