在三角形ABC中,C=120°,求（1/tanA）+（1/tanB）的最小值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 18:00:32
在三角形ABC中,C=120°,求（1/tanA）+（1/tanB）的最小值
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在三角形ABC中,C=120°,求（1/tanA）+（1/tanB）的最小值
在三角形ABC中,C=120°,求（1/tanA）+（1/tanB）的最小值

在三角形ABC中,C=120°,求（1/tanA）+（1/tanB）的最小值
楼上误人子弟.
举个反例说明：
同样的题,求cosA+cosB的最小值
cosA+cosB》2√(cosAcosB)
等号仅当tanA=tanB,A=B=30°成立
所以：
cosA+cosB的最小值为√3=1.732
事实上,当A=π/4,B=π/12时候
cosA+cosB=1.673比上面的还要小,可以用excel计算
上面错误在于（1/tanA）+（1/tanB）>=2√（1/tanA*tanB) 之中,不等号之后还是个未知数,是得不出任何结果的,不过也巧,最终答案正好是对的.
（1/tanA）+（1/tanB）
=cosA/sinA+cosB/sinB
=(sinAcosB+cosAsinB)/sinAsinB
=sin(A+B)/【1/2cos(A-B)-1/2cos(A+B)】
=√3/[cos(A-B)-1/2]
>=√3/(1-1/2)
=2√3
等号当且仅当cos(A-B)=1时候取得,此时A=B=π/6

A+B=60°
（1/tanA）>0,（1/tanB）>0
（1/tanA）+（1/tanB）>=2√（1/tanA*tanB)
等号仅当tanA=tanB,A=B=30°成立
（1/tanA）+（1/tanB）>=2√3
所以：
（1/tanA）+（1/tanB）的最小值2√3

2√3

因为 C=120°A+B=60°
所以（1/tanA）>0,（1/tanB）>0
所以可以利用均值不等式来做：
（1/tanA）+（1/tanB）>=2√（1/tanA*tanB)
当且仅当tanA=tanB,即A=B=30°等号成立
得（1/tanA）+（1/tanB）>=2√3
所以： 最小值2√3

2倍根号3

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