作业帮在△ABC中,AB=AC,以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D,切线DE⊥AC,垂足为点E．（1）△ABC是等边三角形；（2） AE=13CE．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 02:56:07
在△ABC中,AB=AC,以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D,切线DE⊥AC,垂足为点E．（1）△ABC是等边三角形；（2） AE=13CE．
在△ABC中,AB=AC,以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D,切线DE⊥AC,垂足为点E．
（1）△ABC是等边三角形；
（2） AE=13CE．
在△ABC中,AB=AC,以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D,切线DE⊥AC,垂足为点E．（1）△ABC是等边三角形；（2） AE=13CE．
考点：等边三角形的判定；圆周角定理．
专题：证明题．
分析：（1）连接OD,根据切线的性质得到OD⊥DE,从而得到平行线,得到∠ODB=∠A,∠ODB=∠B,则∠A=∠B,得到AC=BC,从而证明该三角形是等边三角形；
（2）再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质,推出30°的直角三角形,根据30°所对的直角边是斜边的一半即可证明．
证明：（1）连接OD,得OD∥AC；
∴∠BDO=∠A；
又OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠OBD=∠A；
∴BC=AC；
又∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形；
（2）如上图,连接CD,则CD⊥AB；
∴D是AB中点；
∵AE= 12AD= 14AB,
∴EC=3AE；
∴AE= 13CE．
点评：本题中做好辅助线是解题的关键,连接过切点的半径是圆中常见的辅助线作法之一．另外还要掌握等边三角形的判定和性质以及30°的直角三角形的性质．
证明：（1）连接OD。
∵DE是⊙O切线，∴OD⊥DE
∵DE⊥AC，∴OD∥AC
∴∠BDO=∠A
⊙O中OB=OD，∴∠BDO=∠B，∴∠A=∠B
等腰△ABC中，∠B=∠C，∴∠A...
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证明：（1）连接OD。
∵DE是⊙O切线，∴OD⊥DE
∵DE⊥AC，∴OD∥AC
∴∠BDO=∠A
⊙O中OB=OD，∴∠BDO=∠B，∴∠A=∠B
等腰△ABC中，∠B=∠C，∴∠A=∠B=∠C
∴△ABC是正三角形
（2）OD=OB=½BC=½AB，OB∥AC，∴OD是△ABC的中位线
∴AD=BD
∵∠A=60°，∴AE=½AD=¼AB=¼AC
又AC=AE+CE，∴AE=1/3CE
收起
又DE⊥AC ∴OD//AC ∴AC/BC=OD/OB=1/1 ∴AC=BC=AB ∴△ABC为等边证明：<1>取BC的中点O链接OD，因为DE为过D点的切线，所以DO⊥DE又有DE