（1）自然数n=1234567····99100,n的数字从左到右恰为前100个自然数顺序,求n被9所除的余数（2）设a,b,c是三个互不相等的正整数,求证：在(a^3)b-a(b^3),(a^3)c-b(c^3),(c^3)a-c(a^3)三个数中至少有一个数能

（1）自然数n=1234567····99100,n的数字从左到右恰为前100个自然数顺序,求n被9所除的余数（2）设a,b,c是三个互不相等的正整数,求证：在(a^3)b-a(b^3),(a^3)c-b(c^3),(c^3)a-c(a^3)三个数中至少有一个数能
（1）自然数n=1234567····99100,n的数字从左到右恰为前100个自然数顺序,求n被9所除的余数
（2）设a,b,c是三个互不相等的正整数,求证：在(a^3)b-a(b^3),(a^3)c-b(c^3),(c^3)a-c(a^3)三个数中至少有一个数能被10整除
（3）已知m是被3除余1,被7除余5,被11除余4的最小自然数,求m被4除的余数

（1）自然数n=1234567····99100,n的数字从左到右恰为前100个自然数顺序,求n被9所除的余数（2）设a,b,c是三个互不相等的正整数,求证：在(a^3)b-a(b^3),(a^3)c-b(c^3),(c^3)a-c(a^3)三个数中至少有一个数能
1题
这个数除以9的余数是其各位数之和除以9的余数.
1-9:45 9整除45
10-89:两两相加 和均为99 因此可以被9整除
90-99:9*10+45=135 可以被9整除
100：和为1
所以n除以9余1
2题
a^3b-ab^3=ab(a+b)(a-b)
所以不论a,b的奇偶性,这三个数必然是偶数.以下只要证明a,b,c,a+b,a+c,b+c,a-b,b-c,c-a中有一个能被5整除就行了.如果a,b,c中有一个能被5整除,命题成立.若a,b,c中有两个数被5除余数相同,不妨设为a和b,则a-b能被5整除,命题成立.若a,b,c三个数被5除余数都不同,由于整数被五除只有五种情况,但整除的情况已经被排除,即只剩下余1,2,3,4.现将1,4归为一组,2,3归为一组,按鸽笼原理,a,b,c必有两个数再同一组,同一组的两个数相加能被五整除,这种情况命题也成立.综上所述,命题成立.
3题
[3,7]=21
21-2=19（满足前2个条件的数最小是19）
说明此数为21K+19
则最小为103
103/4余3

1.就是求前100个自然数的所有位上数字之和除9的余数
总和是45*10+45*10+1，余数是1
2.(a^3)b-a(b^3）=ab（a+b）（a-b），则不论ab为奇数或者偶数，均可整除2
主要是看这个式子是否能整除5，假设ab（a+b）（a-b）不能整除5，则只能是a，b中一个除5余1，一个除5余3或者一个除5余1，一个除5余2，或者一个除5余2，一个除5余4。此时...

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1.就是求前100个自然数的所有位上数字之和除9的余数
总和是45*10+45*10+1，余数是1
2.(a^3)b-a(b^3）=ab（a+b）（a-b），则不论ab为奇数或者偶数，均可整除2
主要是看这个式子是否能整除5，假设ab（a+b）（a-b）不能整除5，则只能是a，b中一个除5余1，一个除5余3或者一个除5余1，一个除5余2，或者一个除5余2，一个除5余4。此时，不论c除5余几，(b^3)c-b(c^3)，(c^3)a-c(a^3)（类似分解因式）两个数中至少有一个数能被5整除
3.要利用孙子定理，不过可以先求出被3除余1，被7除余5的数为21k+19型数字，再求出此类数字中被11除余4最小为103 ，除4余3

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