如图,已知在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB边上的高,在BE延长线上截取BM=AC,在CF延长线上截取CN=AB求证1 AM=AN 2 AM⊥AN
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/01 07:25:14
![如图,已知在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB边上的高,在BE延长线上截取BM=AC,在CF延长线上截取CN=AB求证1 AM=AN 2 AM⊥AN](/uploads/image/z/11487273-33-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2CBE%2CCF%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFAC%2CAB%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E7%9A%84%E9%AB%98%2C%E5%9C%A8BE%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E6%88%AA%E5%8F%96BM%3DAC%2C%E5%9C%A8CF%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E6%88%AA%E5%8F%96CN%3DAB%E6%B1%82%E8%AF%811+AM%3DAN+2+AM%E2%8A%A5AN)
如图,已知在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB边上的高,在BE延长线上截取BM=AC,在CF延长线上截取CN=AB求证1 AM=AN 2 AM⊥AN
如图,已知在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB边上的高,在BE延长线上截取BM=AC,在CF延长线上截取CN=AB
求证1 AM=AN 2 AM⊥AN
如图,已知在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB边上的高,在BE延长线上截取BM=AC,在CF延长线上截取CN=AB求证1 AM=AN 2 AM⊥AN
1、
因为BE、CF为三角形ABC的高
所以∠ACN+∠BAC=90°,∠ABM+∠BAC=90°
所以∠ABM=∠ACN
又因为AB=CN,BM=AC,
所以△ABM≌△NCA(SAS)
所以AM=AN,
2、
因为△ABM≌△NCA(SAS)
所以∠BAM=∠CNA
因为∠CNA+∠NAF=90°
所以∠BAM+∠NAF=90°
即∠MAN=90°
(1)由两个直角和一组对角可知:∠1=∠2
又∵AB=CN BM=AC
∴△ACN全等于△MBA
∴AM=AN
(2)由(1)知∠N=∠BAM
∵∠N+∠NAB=90°
∴∠BAM+∠NAB=90°
即∠NAM=90°
∴AM⊥AN
分别对三角形AMB和ANC运用余弦定理
AM2=AB2+BM2-2AB×BMcos∠1 (1)
AN2=CN2+AC2-2CN×ACcos∠2 (2)
由BM=AC且 CN=AB (1)-(2)
得AM2-AN2=2AB×AC(cos∠2-cos∠1)
AM-AN=2AB×AC(cos∠2 -cos∠1)/(AM+AN)
又∠1 、∠2为锐角,
当∠1>∠2时,cos∠2 -cos∠1>0 AM>AN
当∠1=∠2时,cos∠2 -cos∠1=0 AM=AN
当∠1<∠2时,cos∠2 -cos∠1<0 AM<AN