一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx （50分）如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 04:30:01
一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx （50分）如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢?
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一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx （50分）如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢?
一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx （50分）
如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢?

一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx （50分）如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢?
设x=tanA,上式可化简为“积分号1/(1+(tanA)^2)^2dtanA”利用公式"(tanA)^2+1=(secA)^2"和"dtanA=(secA)^2dA"进一步化简为“积分号(cosA)^2dA”然后就是倍角公式展开,积分,换元这些基本工作了.如果把括号外面的平方换成三次方四次方,那就是“积分号(cosA)^3dA”或“积分号(cosA)^4dA”有一个递推公式,微积分教材上都有,应该没有人不知道吧?

记In＝∫1/(1+x^2)^n dx
那么In= ∫1/(1+x^2)^n dx=x/(1+x^2)^n-∫xd(1/(1+x^2)^n)
=x/(1+x^2)^n+2n∫x^2/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n∫1/(1+x^2)^ndx-2n∫1/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^...

全部展开

记In＝∫1/(1+x^2)^n dx
那么In= ∫1/(1+x^2)^n dx=x/(1+x^2)^n-∫xd(1/(1+x^2)^n)
=x/(1+x^2)^n+2n∫x^2/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n∫1/(1+x^2)^ndx-2n∫1/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n*In－2nIn+1
最终有
In+1=(2n-1)/2n*In+1/2n*x/(1+x^2)^n
显然I1＝arctan(x)+c
那么I2＝1/2*(x/(1+x^2)+arctan(x))+c
其余可以利用递推公式依次计算。

收起

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