作业帮证明曲线x²+√3*y²=2,√3*x²-y²=2的四个交点共圆.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/21 02:31:54
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证明曲线x²+√3*y²=2,√3*x²-y²=2的四个交点共圆.
证明曲线x²+√3*y²=2,√3*x²-y²=2的四个交点共圆.
证明曲线x²+√3*y²=2,√3*x²-y²=2的四个交点共圆.
证明：这算是一道解析几何题目.要证明4点共圆,只需要证明这4个点的坐标满足同一个圆的表达式（x-x0)²+(y-y0)²=R².由两个曲线的解析式,可以解出4个交点的坐标,详细过程如下：
设x²+√3*y²=2为1式,√3*x²-y²=2为2式,则(1式×√3)-2式,得到4y²=2(√3-1),则y²=(√3-1)/2,
将该结果代入1式,算得x²=(√3+1)/2.上述两个结果中,分别可以解出两个x和y值,他们可组合出4个坐标（根号里面又是根号,这里不好写,就不写出来了,反正不影响推导过程）,这4个坐标对应的点,就是两条曲线的4个交点.回头再看这4个点的坐标,已经推出它们均满足这样两个表达式：
x²=(√3+1)/2,以及y²=(√3-1)/2.将这两个表达式相加,得到x²+y²=√3,显然,这是一个圆心位于坐标原点、半径平方为√3的圆的解析式,根据以上分析,这4个交点的坐标均满足这个圆的解析式,因此该4点都在这个圆上,因此,4点共圆,证毕
设P(x0，y0)是任一交点，则
x0^2+√3*y0^2=2， （1）
√3*x0^2-y0^2=2， （2）
(1)*(√3+1)+(2)*(√3-1) 得
4x0^2+4y0^2=4√3
即 x0^2+y0^2=√3
因此，它们的所有交点均在圆 x^2+y^2=√3 上。