四边形ABCD中,E是BC中点,DE平分∠ADC,AE平分∠BAD 求证AB∥CD快

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 02:26:15
四边形ABCD中,E是BC中点,DE平分∠ADC,AE平分∠BAD 求证AB∥CD快
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四边形ABCD中,E是BC中点,DE平分∠ADC,AE平分∠BAD 求证AB∥CD快
四边形ABCD中,E是BC中点,DE平分∠ADC,AE平分∠BAD 求证AB∥CD
快

四边形ABCD中,E是BC中点,DE平分∠ADC,AE平分∠BAD 求证AB∥CD快
题有问题
看图
△PBC是等边三角形
A、D、E是各边中点,满足上面的条件,但是AB与CD不平行

有没图啊？

所以EF‖CD,所以角CDE=角DEF,又因为DE平分角ADC,所以角CDE=角ADE,所以角DEF=角ADE,所以FD=FE 因为E是BC中点，且EF‖AB,所以EF是梯形ABCD的中位

过E作EM⊥CD于M，EN⊥AD于N，EP⊥AB于P
因为DE平分∠ADC，AE平分∠BAD
所以EM=EN=EP
E是BC中点
CE=EB，ME=EP，∠CME=∠BPE=90°
△MEC≌△PEB
∠MCE=∠PBE
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

从E 点分别作垂线EF EG EH垂直于AD AB CD
由角平分线定理可得出三条线段是相等的，
到了EG=EH,又有EB=EC，且△EGB与△EHC均为直角三角形，
故两个三角形全等，得到∠B=∠ECH
再由定理，内错角相等则两直线平行，
故可证得AB∥CD

一三楼的问题在于：做EF∥AB可以。怎么会也平行CD？
如果这样的话，直接用EF∥AB，EF∥CD，所以AB∥CD不是更好么？
四五楼的问题在于（以四楼字母为例）：EM和EP不一定在一条直线上
哪里来的内错角？

过E做EF‖AB交AD于F
所以EF‖CD,所以角CDE=角DEF,又因为DE平分角ADC,所以角CDE=角ADE,所以角DEF=角ADE,所以FD=FE

题目之所以很难证明，是因为这个结论是不成立的
举个例子：作等边三角形ADE对应题目上的三点A、D、E
因为∠ADE=∠DAE=60
所以以A为顶点，AE为一边，作∠EAM=60
以D为顶点，DE为一边，作∠EDN=60
以上两角均作在三角形ADE外，不与等边三角形的两内角重合
此时只要过E作BC平行AD，分别交AM、DN于B、C两点。
即可满...

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题目之所以很难证明，是因为这个结论是不成立的
举个例子：作等边三角形ADE对应题目上的三点A、D、E
因为∠ADE=∠DAE=60
所以以A为顶点，AE为一边，作∠EAM=60
以D为顶点，DE为一边，作∠EDN=60
以上两角均作在三角形ADE外，不与等边三角形的两内角重合
此时只要过E作BC平行AD，分别交AM、DN于B、C两点。
即可满足题目的三个条件：E为BC中点，AE、DE都是角平分线
但此时没有AB∥CD
它们是下底角为60度的等腰梯形的两腰，大家不妨画一下图形。
或许有考虑不周的地方，仅供参考

收起

这个结论的确不成立。“ 吃拿抓卡要”朋友的反例就已经说明了题目结论不正确

实际上一个更简单的反例很容易说明这点：

作任意一个等腰三角形ADM，AM＝DM

作两个底角的平分线交于E

过E作AD的平行线分别交AM、DM于B、C

则由等腰三角形的对称性一定有BE＝CE

此时，问题的所有条件均符合，但显然AB与CD不平行

供参考！JSWYC

这题目缺少了一个前提条件，即
角A加上角D等于180度。而且必须是180度。
也可以这样说：
某一条边（如a边）的相邻两个角相加等于180度，则相邻两边平行（如b和d平行）。

做错了，LOOK LOOK

还缺少一个限制条件：∠B ≠∠C

在现有条件下，可以作一个与AD、AB和CD这3边相切的圆，切点标为F、G、H，易证

Rt△EBG≌Rt△ECH（斜边和一直边对应相等），

于是可得∠B+∠C=180°（左图）或者B =∠C（右图），

必须排除右图这种情况命题才能唯一成立。

不一定成立

不好意思！题目有错。反例：AD∥BC的等腰梯形，完全满足题目的题设，但是结果不成立！

过E做EF‖AB交AD于F
所以EF‖CD,所以角CDE=角DEF,又因为DE平分角ADC,所以角CDE=角ADE,所以角DEF=角ADE,所以FD=FE
因为E是BC中点，且EF‖AB,所以EF是梯形ABCD的中位线，所以F是AD的中点，所以AF=DF,所以AF=EF,所以角AEF=角DAE,又因为角ADE+角DAE+角AEF+角DEF=180;所以角ADE+角DAE=90

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过E做EF‖AB交AD于F
所以EF‖CD,所以角CDE=角DEF,又因为DE平分角ADC,所以角CDE=角ADE,所以角DEF=角ADE,所以FD=FE
因为E是BC中点，且EF‖AB,所以EF是梯形ABCD的中位线，所以F是AD的中点，所以AF=DF,所以AF=EF,所以角AEF=角DAE,又因为角ADE+角DAE+角AEF+角DEF=180;所以角ADE+角DAE=90
AE是∠DAB的平分线 所以角BAE=角DAE
角CDE=角EDA
角CDE+角EAB=90,
角CDA+角BAD=180,
AB‖CD,

收起

四边形ABCD中,E是BC中点,DE平分∠ADC,AE平分∠BAD 求证AB∥CD快 如图,四边形ABCD中,AB‖CD,点E是BC的中点,DE平分∠ADC,求证:AE是∠DAB的平分线 四边形ABCD中,AD平行BC,CA平分角DCE,AB垂直于AC,E为BC中点,试说明,DE,AC互相垂直平分 如图,在四边形ABCD中,AD平行于BC,CA平分∠DCE,AB⊥AC,E为BC的中点,证明DE,AC互相垂直平分 如图,在四边形ABCD中,AB平行CD,点E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证：（1）AE是∠DAB的平分线.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证：（1）AE是∠DAB的平分线.（2）AD＝AB＋CD 四边形ABCD中,∠B=∠C=90°AE平分∠BAD E为BC的中点 求 DE平分∠ADC 如图,四边形ABCD,AB平行CD,∠B=90°,E是BC中点,DE平分∠ADC,求证：AE平分∠DAB. 如图,四边形ABCD中,AB‖CD,点E是BC的中点,DE平分∠ADC交bc于点e,求证:（1）AE是∠DAB的平分线.（2）求∠aed的度数 如图所示,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的红点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,求∠EAB的度数.E是BC的中点。。 在正方形ABCD中,点E是BC边中点,如果DE=5,那么四边形ABED的面积是? 在正方形ABCD中,点E是BC边的中点,若DE=5,求四边形ABED的面积. 在四边形ABCD中,E是CD上一点,连接AE,BE,AE平分角BAD,BE平分角ABC,E是CD中点,求AD//BC 在四边形ABCD中,∠B=∠C=90度,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35度,求∠EAB的度数 在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,求∠EAB的度数. 已知:如图,在四边形ABCD中,AD//BC,BC=2AD,CA平分角DCE,AB垂直于AC,E为BC的中点.试说明:DE,AC互相垂直平分. 在直角梯形ABCD中AB‖CD,∠B=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,求证:AE平分∠DAB 图,在四边形ABCD中,AB⊥CB于B,DC⊥BC于C,DE平分∠ADC,且E为BC的中点,求证：AE平分∠BAD初二上的内容,全等三角形, 如图,梯形ABCD中,AB‖DC E是BC中点 EF⊥DE交AB于F 求证DE平分∠CDF