求级数∑(n=0→无穷）n*x^n/(n+1)的和函数,并计算∑(n=1→无穷）（-1）^n*n/((n+1)*2^(n+1))

求级数∑(n=0→无穷）n*x^n/(n+1)的和函数,并计算∑(n=1→无穷）（-1）^n*n/((n+1)*2^(n+1))
求级数∑(n=0→无穷）n*x^n/(n+1)的和函数,并计算∑(n=1→无穷）（-1）^n*n/((n+1)*2^(n+1))

求级数∑(n=0→无穷）n*x^n/(n+1)的和函数,并计算∑(n=1→无穷）（-1）^n*n/((n+1)*2^(n+1))
（1）令S(x)=∑(n=0→无穷）n*x^n/(n+1)
则S(x) =x/2 +2/3*x^2 +3/4*x^3 +··· +n/(n+1)*x^n +··· (1)
两边同乘x：xS(x)=1/2*x^2+ 2/3*x^3+3/4*x^4+···+n/(n+1)*x^(n+1)+ ··· (2)
上面(1)-(2)得：(1-x)S(x)=1/2*x+ 1/6*x^2+ 1/12*x^3+···+1/n(n+1)*x^n+···
=(1-1/2)*x+ (1/2-1/3)*x^2+ ···+[1/n-1/(n+1)]*x^n+···
=(x+1/2*x^2+···+1/n*x^n+···)—[1/2x+1/3*x^2+···+1/(n+1)*x^n+···]
把上式 后面[ ]内乘以x,外面除以x配成前面( )相同形式好合并成一项 得
(1-x)S(x) =(x-1)/x*(x+1/2*x^2+···+1/n*x^n+···)— 1
所以只需要求出x+1/2*x^2+···+1/n*x^n+··即可.
考虑我们熟悉的泰勒级数：ln(1+x)=x-1/2*x^2+···(-1)^(n-1)*1/n*x^n+··· |x|