集合A由适合以下性质函数f(x)构成:对于定义域内任意两个不相等的实数x1,x2都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2]1.设f(x)∈A且当定义域为(0,+∞),值域为(0,1),且f(1)>1/2出一个满足以上条件的函数f(x
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 07:09:34
![集合A由适合以下性质函数f(x)构成:对于定义域内任意两个不相等的实数x1,x2都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2]1.设f(x)∈A且当定义域为(0,+∞),值域为(0,1),且f(1)>1/2出一个满足以上条件的函数f(x](/uploads/image/z/11519790-6-0.jpg?t=%E9%9B%86%E5%90%88A%E7%94%B1%E9%80%82%E5%90%88%E4%BB%A5%E4%B8%8B%E6%80%A7%E8%B4%A8%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%9E%84%E6%88%90%EF%BC%9A%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E5%86%85%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0x1%2Cx2%E9%83%BD%E6%9C%891%2F2%5Bf%28x1%29%2Bf%28x2%29%5D%3Ef%5B%EF%BC%88x1%2Bx2%29%2F2%5D1.%E8%AE%BEf%28x%29%E2%88%88A%E4%B8%94%E5%BD%93%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%BA%EF%BC%880%2C%2B%E2%88%9E%EF%BC%89%2C%E5%80%BC%E5%9F%9F%E4%B8%BA%EF%BC%880%2C1%EF%BC%89%2C%E4%B8%94f%281%29%3E1%2F2%E5%87%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E4%BB%A5%E4%B8%8A%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x)
集合A由适合以下性质函数f(x)构成:对于定义域内任意两个不相等的实数x1,x2都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2]1.设f(x)∈A且当定义域为(0,+∞),值域为(0,1),且f(1)>1/2出一个满足以上条件的函数f(x
集合A由适合以下性质函数f(x)构成:对于定义域内任意两个不相等的实数x1,x2都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2]
1.设f(x)∈A且当定义域为(0,+∞),值域为(0,1),且f(1)>1/2出一个满足以上条件的函数f(x)的解析式,并给与证明
集合A由适合以下性质函数f(x)构成:对于定义域内任意两个不相等的实数x1,x2都有1/2[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2]1.设f(x)∈A且当定义域为(0,+∞),值域为(0,1),且f(1)>1/2出一个满足以上条件的函数f(x
因为据题意可得f(x)为凹函数,即函数图象开口向上,且在其定义域内连续.
因为当x∈(0,+∞),且f(x)∈(0,1),所以可以定义一个函数f(x)=1/x它的定义域值域都满足,而且f(1)=1>0.5
证明:取定义域内任意两不相等实数x1,x2;则1/2[f(x1)+f(x2)]-f[(x1+x2)/2]=1/2(1/x1 + 1/x2)-1/[(x1+x2)/2]=(x1+x2)/(2*x1*x2)-2/(x1+x2)=[(x1+x2)^2-4*x1*x2]/[(2*x1*x2)*(x1+x2)]=[(x1-x2)^2]/[(2*x1*x2)*(x1+x2)]>0
所以原式得证
f(x)=2/(x+2) (x>0) 。
显然,函数定义域为 R+ ,值域为(0,1),且 f(1)=2/3>1/2 。
1/2*[f(x1)+f(x2)]=1/2*[2/(x1+2)+2/(x2+2)]=(x1+x2+4)/[(x1+2)(x2+2)] ,
而 f[(x1+x2)/2]=2/[(x1+x2)/2+2]=4/(x1+x2+4) ,
由于 x1、x2 ...
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f(x)=2/(x+2) (x>0) 。
显然,函数定义域为 R+ ,值域为(0,1),且 f(1)=2/3>1/2 。
1/2*[f(x1)+f(x2)]=1/2*[2/(x1+2)+2/(x2+2)]=(x1+x2+4)/[(x1+2)(x2+2)] ,
而 f[(x1+x2)/2]=2/[(x1+x2)/2+2]=4/(x1+x2+4) ,
由于 x1、x2 不相等,且均为正数,
所以 (x1+x2+4)^2=[(x1+2)+(x2+2)]^2>4(x1+2)(x2+2) (均值不等式),
所以 (x1+x2+4)/[(x1+2)(x2+2)]>4/(x1+x2+4) ,
即 1/2*[f(x1)+f(x2)]>f[(x1+x2)/2] 。
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