已知椭圆的中心坐标原点为O,右焦点为F（1,0）,短轴长为2,求直线L：Y=KX+B于AB两点且OA垂直于OB,求证直L与以原点为圆心的定圆相切,并求该定圆的方程

已知椭圆的中心坐标原点为O,右焦点为F（1,0）,短轴长为2,求直线L：Y=KX+B于AB两点且OA垂直于OB,求证直L与以原点为圆心的定圆相切,并求该定圆的方程
已知椭圆的中心坐标原点为O,右焦点为F（1,0）,短轴长为2,求直线L：Y=KX+B于AB两点且OA垂直于OB,求证直
L与以原点为圆心的定圆相切,并求该定圆的方程

已知椭圆的中心坐标原点为O,右焦点为F（1,0）,短轴长为2,求直线L：Y=KX+B于AB两点且OA垂直于OB,求证直L与以原点为圆心的定圆相切,并求该定圆的方程
证明：根据题意,
c=1,b=2
a²=b²+c²=5
椭圆方程：x²/5+y²/4=1即4x²+5y²=20
设A（x1,y1）B（x2,y2）
直线y=kx+b代入椭圆方程
4x²+5(k²x²+2kbx+b²=20
(5k²+4)x²+10kbx+5b²-20=0
x1+x2=-10kb/(5k²+4)
x1*x2=(5b²-20)/(5k²+4)
因为OA垂直OB
所以y1/x1*y2/x2=-1
y1y2+x1x2=0
因为y1=kx1+b,y2=kx2+b
所以y1y2=k²x1x2+kb(x1+x2)+b²
k²x1x2+kb(x1+x2)+b²+x1x2=0
k²(5b²-20)/(5k²+4)-10k²b²/(5k²+b)+b²+(5b²-20)/(5k²+4)=0
5k²b²-20k²-10k²b²+5k²b²+4b²+5b²-20=0
9b²=20(1+k²)
｜b｜/√(1+k²)=2√5/3
而原点到直线AB的距离d即圆的半径r=｜b｜/√(1+k²)
由此我们可以得出直线与原点为圆心的圆相切,半径为定长：2√5/3
证毕.