求二次分式值域(m2+1)/(2m2+6m+9)

求二次分式值域(m2+1)/(2m2+6m+9)
求二次分式值域
(m2+1)/(2m2+6m+9)

求二次分式值域(m2+1)/(2m2+6m+9)
令y＝(m2+1)/(2m2+6m+9),即m^2＋1＝2ym^2＋6ym＋9y
整理成关于m的方程,得：（2y－1）m^2＋6ym＋9y－1＝0
由于m是实数,因此该方程有实数解,
则其判别式≥0
即36y^2－4（2y－1）（9y－1）≥0
即：9y^2－11y＋1≤0
再来解关于y的方程：9y^2－11y＋1＝0
其判别式＝121－4×9＝85
所以方程的根为：y＝（11±√85）/18
故y的取值范围是：〔（11－√85）/18,（11＋√85）/18〕

(m2+1)/(2m2+6m+9)
分子(m2+1)>0显而易见
分母(2m2+6m+9)是条开口向上的抛物线(a=2>0)
且与x轴无交点(把m看成x,b^2-4ac=6^2-4*2*9=36-72=-36<0)
所以(2m2+6m+9)恒大于0
(m2+1)/(2m2+6m+9)>0

令y=(m2+1)/(2m2+6m+9)
2ym2+6ym+9y=m2+1
(2y-1)m2+6ym+9y-1=0
(1)当2y-1不=0时,方程有解,则判别式>=0
即:36y^2-4(2y-1)(9y-1)>=0
9y^2-(18y^2-11y+1)>=0
9y^2-11y+1<=0
y^2-11/9 y+1/9<=0
(y-1...

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令y=(m2+1)/(2m2+6m+9)
2ym2+6ym+9y=m2+1
(2y-1)m2+6ym+9y-1=0
(1)当2y-1不=0时,方程有解,则判别式>=0
即:36y^2-4(2y-1)(9y-1)>=0
9y^2-(18y^2-11y+1)>=0
9y^2-11y+1<=0
y^2-11/9 y+1/9<=0
(y-11/18)^2<=85/324
(11-根号85)/18(2) y=(m2+1)/(2m2+6m+9)=(1+1/m2)/(2+6/m+9/m2),当m-->+无穷时,y=1/2
综上所述,值域是:[(11-根号85)/18,(11-根号85)/18]

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