作业帮AB是圆O上的两点,点C是圆O与X轴正半轴的交点,以知A(-3,4),且点B在劣弧CA上,△AOB为正三角形.（1）求cos∠COA(2)求绝对值BC 的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 15:21:07
AB是圆O上的两点,点C是圆O与X轴正半轴的交点,以知A(-3,4),且点B在劣弧CA上,△AOB为正三角形.（1）求cos∠COA(2)求绝对值BC 的值
AB是圆O上的两点,点C是圆O与X轴正半轴的交点,以知A(-3,4),且点B在劣弧CA上,△AOB为正三角形.
（1）求cos∠COA
(2)求绝对值BC 的值
AB是圆O上的两点,点C是圆O与X轴正半轴的交点,以知A(-3,4),且点B在劣弧CA上,△AOB为正三角形.（1）求cos∠COA(2)求绝对值BC 的值
^2是平方
1) 过A作AH⊥x轴于H,则AH=|A的纵坐标|=|4|=4,OH=|A的横坐标|=|-3|=3
在Rt△AHO中,∠H=90°,所以cos∠AOH=OH/AO
由于A(-3,4),AO=√((-3-0)^2+(4-0)^2)=5,所以cos∠AOH=3/5
则cos∠COA=cos(180°-∠AOH)=-cos∠AOH=-3/5
2) 由上一小题,OA=5,所以⊙O半径为5,OC=5
C在x正半轴上,所以C(5,0)
过B作BD⊥AO于D,由于△ABO是正三角形,BD垂直平分AO于D
D为AO中点,所以D的坐标为((-3+0)/2,(4+0)/2),即(-3/2,2)
AO的斜率为(4-0)/(-3-0)=-4/3,由于AO⊥BD,所以BD的斜率为-1/(-4/3)=3/4
又BD过D(-3/2,2),所以直线BD的方程为y-2=3(x+3/2)/4,即y=3x/4+25/8
则可设B的坐标为(x,3x/4+25/8)
由于B在劣弧AC上,所以B的横坐标介于AC之间,有-3<x<5
由于⊙O半径为5,OB^2=x^2+(3x/4+25/8)^2=5^2,即4x^2+12x-39=0
解得x=(-3±4√3)/2,其中x=(-3-4√3)/2不在-3<x<5范围内,舍去
所以x=(-3+4√3)/2,从而B的坐标为((-3+4√3)/2,(4+3√3)/2),由于C(5,0)
则BC=√(((-3+4√3)/2-5)^2+((4+3√3)/2-0)^2)=√(65-20√3)
注意到65-20√5=60+5-2*10√5=(2√15)^2-2*2√15*√5+(√5)^2=(2√15-√5)^2
所以BC=√(2√15-√5)^2=|2√15-√5|,由于2√15-√5>0,所以BC=2√15-√5