微积分（经管类）求极限请教.题就是这个了.答案得e^(1/2).不懂.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 14:17:22
微积分（经管类）求极限请教.题就是这个了.答案得e^(1/2).不懂.
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微积分（经管类）求极限请教.
题就是这个了.答案得e^(1/2).不懂.

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原式=lim(x->0) e^ln{ [(1+x)^(1/x)/e]^(1/x) }
来看指数部分:
指数部分=ln[(1+x)^(1/x)/e] / x
=[ln(1+x)^(1/x) - 1] / x
=[ln(1+x)-x]/x^2
因为分子分母都趋于0
故由洛必达法则得
=[1/(1+x) - 1]/(2x)
=-x/[2x(x+1)]
=-1/(2x+2)
故x趋于0时,指数部分趋于-1/2
故所求极限为e^(-1/2) (你给的答案不对)

((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)
=e^(1/x*ln( (1+x)^(1/x)/e ))
=e^(1/x^2*ln(1+x)-1/x)
=e^( (ln(1+x)-x)/(x^2) )
对ln(1+x)在x=0处展开到二阶得
ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)
所以
(ln(1+x)-x)/(x^2)
=(x-x^2/2+o(x^2)-x)/(x^2)
=-1/2+o(1)
所以lim ((1+x)^(1/x)/e)^(1/x)=e^(-1/2)

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