设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图像关于直线x=1/2对称 则f(1)+f(2)+……+f(5)=0为什么
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/05 23:56:01
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图像关于直线x=1/2对称 则f(1)+f(2)+……+f(5)=0为什么
设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图像关于直线x=1/2对称 则f(1)+f(2)+……+f(5)=0为什么
设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图像关于直线x=1/2对称 则f(1)+f(2)+……+f(5)=0为什么
∵ƒ(-x)=-ƒ(x)
又x=1/2是图形的对称轴
∴ƒ(½-x)=ƒ(½+x)
∴ƒ(1)+ƒ(2)+ƒ(3)+ƒ(4)+ƒ(5)
=ƒ(1)+ƒ(2)+ƒ(½+2.5)+ƒ(½+3.5)+ƒ(½+4.5)
=ƒ(1)+ƒ(2)+ƒ(½-2.5)+ƒ(½-3.5)+ƒ(½-4.5)
=ƒ(1)+ƒ(2)+ƒ(-2)+ƒ(-3)+ƒ(-4)
=ƒ(1)+ƒ(2)-ƒ(2)-ƒ(3)-ƒ(4)
=ƒ(1)-ƒ(3)-ƒ(4)
=ƒ(1)-ƒ(½+2.5)-ƒ(½+3.5)
=ƒ(1)-ƒ(½-2.5)-ƒ(½-3.5)
=ƒ(1)-ƒ(-2)-ƒ(-3)
=ƒ(1)+ƒ(2)+ƒ(3)
=ƒ(1)+ƒ(½+1.5)+ƒ(½+2.5)
=ƒ(1)+ƒ(½-1.5)+ƒ(½-2.5)
=ƒ(1)+ƒ(-1)+ƒ(-2)
=ƒ(1)-ƒ(1)-ƒ(2)
=-ƒ(2)
=-ƒ(½+1.5)
=-ƒ(½-1.5)
=-ƒ(-1)
=ƒ(1)
=ƒ(½+½)
=ƒ(½-½)
=ƒ(0)
=0
说明:
ƒ(-x)=-ƒ(x)
ƒ(-x)+ƒ(x)=0
ƒ(-0)+ƒ(0)=0
ƒ(0)+ƒ(0)=0
ƒ(0)=0
证明:y=f(x)的图像关于直线x=1/2对称,f(5)=f(-4),f(3)=f(-2),
又f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x)
f(5)=f(-4)=-f(4),f(3)=f(-2)=-f(2),
则f(2)+……+f(5)=0
又f(x)是奇函数,则f(0)=0
f(1)=f(0)=0(关于x=1/2对称)
所以f(1)+f(2)+……+...
全部展开
证明:y=f(x)的图像关于直线x=1/2对称,f(5)=f(-4),f(3)=f(-2),
又f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x)
f(5)=f(-4)=-f(4),f(3)=f(-2)=-f(2),
则f(2)+……+f(5)=0
又f(x)是奇函数,则f(0)=0
f(1)=f(0)=0(关于x=1/2对称)
所以f(1)+f(2)+……+f(5)=0
收起
这样简单想:
奇函数:则f(0)=0,又关于x=1/2对称,则f(1)=f(0)=0
从而f(-1)=-f(1)=0.从而f(2)=f(-1)=0(因为2-1/2=1/2-(-1))
到最后都等0。
所以相加都等0
这题还可去证是周期函数