已知:AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=90,M为BC中点.将三角形绕点O逆时针旋转,旋转角∠AOC:0<α<90. 试证明:OM⊥AD,AD=2OM
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 14:49:25
![已知:AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=90,M为BC中点.将三角形绕点O逆时针旋转,旋转角∠AOC:0<α<90. 试证明:OM⊥AD,AD=2OM](/uploads/image/z/11546608-40-8.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%BC%9AAO%3DBO%2CCO%3DDO%2C%E2%88%A0AOB%3D%E2%88%A0COD%3D90%2CM%E4%B8%BABC%E4%B8%AD%E7%82%B9.%E5%B0%86%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%BB%95%E7%82%B9O%E9%80%86%E6%97%B6%E9%92%88%E6%97%8B%E8%BD%AC%2C%E6%97%8B%E8%BD%AC%E8%A7%92%E2%88%A0AOC%EF%BC%9A0%EF%BC%9C%CE%B1%EF%BC%9C90.++%E8%AF%95%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9AOM%E2%8A%A5AD%2CAD%3D2OM)
已知:AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=90,M为BC中点.将三角形绕点O逆时针旋转,旋转角∠AOC:0<α<90. 试证明:OM⊥AD,AD=2OM
已知:AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=90,M为BC中点.将三角形绕点O逆时针旋转,旋转角∠AOC:0<α<90. 试证明:OM⊥AD,AD=2OM
已知:AO=BO,CO=DO,∠AOB=∠COD=90,M为BC中点.将三角形绕点O逆时针旋转,旋转角∠AOC:0<α<90. 试证明:OM⊥AD,AD=2OM
这是2013•门头沟区二模考题中的一小问,给你全题的答案吧:
原题:已知:在△AOB与△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°.
(1)如图1,点C、D分别在边OA、OB上,连结AD、BC,点M为线段BC的中点,连结OM,则线段AD与OM之间的数量关系是,位置关系是;
(2)如图2,将图1中的△COD绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<90°).连结AD、BC,点M为线段BC的中点,连结OM.请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,将图1中的△COD绕点O逆时针旋转到使△COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时,点C落在OB上,点M为线段BC的中点.请你判断(1)中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化,写出你的猜想,并加以证明
分析:(1)AD与OM之间的数量关系为AD=2OM,位置关系是AD⊥OM;
(2)(1)中的两个结论仍然成立,理由为:如图2所示,延长BO到F,使FO=BO,连接CF,由M、O分别为BC、BF的中点,得到OM为三角形BCF的中位线,利用中位线定理得到FC=2OM,利用SAS得到三角形AOD与三角形FOC全等,利用全等三角形的对应边相等得到FC=AD,等量代换得到AD=2OM;由OM为三角形BCF的中位线,利用中位线定理得到OM与CF平行,利用两直线平行同位角相等得到∠BOM=∠F,由全等三角形的对应角相等得到∠F=∠OAD,等量代换得到∠BOM=∠OAD,根据∠BOM与∠AOM互余,得到∠OAD与∠AOM互余,即可确定出OM与AD垂直,得证;
(3)(1)中线段AD与OM之间的数量关系没有发生变化,理由为:如图3所示,延长DC交AB于E,连结ME,过点E作EN⊥AD于N,由三角形COD与三角形AOB都为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质得到四个角为45度,进而得到三角形MCE与三角形AED为等腰直角三角形,根据EN为直角三角形ADE斜边上的中线得到AD=2EN,再利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OMEN为矩形,可得出EN=OM,等量代换得到AD=2OM.