三角形ABC中,∠A、∠B、∠C分别对应边a、b、c,且已知(a+b+c)(a-b+c)=3ac,tanA+tanC=3+根号3AB边高为4乘根号3,求各个角的度数与三边长度.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/15 23:39:23
![三角形ABC中,∠A、∠B、∠C分别对应边a、b、c,且已知(a+b+c)(a-b+c)=3ac,tanA+tanC=3+根号3AB边高为4乘根号3,求各个角的度数与三边长度.](/uploads/image/z/11555822-38-2.jpg?t=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0A%E3%80%81%E2%88%A0B%E3%80%81%E2%88%A0C%E5%88%86%E5%88%AB%E5%AF%B9%E5%BA%94%E8%BE%B9a%E3%80%81b%E3%80%81c%2C%E4%B8%94%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%BC%88a%2Bb%2Bc%29%28a-b%2Bc%29%3D3ac%2CtanA%2BtanC%3D3%2B%E6%A0%B9%E5%8F%B73AB%E8%BE%B9%E9%AB%98%E4%B8%BA4%E4%B9%98%E6%A0%B9%E5%8F%B73%2C%E6%B1%82%E5%90%84%E4%B8%AA%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%BA%A6%E6%95%B0%E4%B8%8E%E4%B8%89%E8%BE%B9%E9%95%BF%E5%BA%A6.)
三角形ABC中,∠A、∠B、∠C分别对应边a、b、c,且已知(a+b+c)(a-b+c)=3ac,tanA+tanC=3+根号3AB边高为4乘根号3,求各个角的度数与三边长度.
三角形ABC中,∠A、∠B、∠C分别对应边a、b、c,且已知(a+b+c)(a-b+c)=3ac,tanA+tanC=3+根号3
AB边高为4乘根号3,求各个角的度数与三边长度.
三角形ABC中,∠A、∠B、∠C分别对应边a、b、c,且已知(a+b+c)(a-b+c)=3ac,tanA+tanC=3+根号3AB边高为4乘根号3,求各个角的度数与三边长度.
(a+b+c)(a-b+c)=3ac,
(a+c)^2-b^2=3ac,
a^2+c^2-b^2=ac,
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/2,
B=π/3=60度.
tan(A+C)=-tanB=-√3,
即(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=(3+√3)/(1-tanAtanC)=-√3
tanAtanC=2+√3.(1)
tanA+tanC=3+√3.(2)
解方程得tanA=1,tanC=2+√3或tanA=2+√3,tanC=1
于是有:A=45度,B=60度,C=75度或者A=75度,B=60度,C=45度.
设AB边上高CD,CD=4√3,
A=45度,B=60度,C=75度时
AD=CD=4√3,BD=CD/tanB=(4√3)/√3=4
所以c=AB=AD+BD=4+4√3
a=BC=2BD=8,b=AC=(√2)CD=4√6
所以a=8,b=4√6,c=4+4√3
A=75度,B=60度,C=45度时
a=BC=2BD=8,BD=4,AD=CD/tanA=(4√3)/(2+√3)=-12+8√3
c=AB=BD+AD=-8+8√3
b=AC=√(AD^2+CD^2)=8√(6-3√3)
所以a=8,b=8√(6-3√3),c=-8+8√3
由已知(a+c)^2-b^2=3ac b^2=a^2+c^2-ac
由余弦定理cosB=1/2 B=60°
tan(A+C)=(tanA+tanC)/[1-tanAtanB]=-tanB
与tanA+tanB=3+√3联立解得 A=45° C=75°
a=高/sinB=6
b=高/sinA=3√6
c=acosB+bcosA=3+3√3