作业帮求函数y=x-lnx,x属于（2,3）的最值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 23:06:18
求函数y=x-lnx,x属于（2,3）的最值
求函数y=x-lnx,x属于（2,3）的最值
求函数y=x-lnx,x属于（2,3）的最值
补充完毕
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求函数导数,f'(x)=e^x-1/x
e^x=1/x时,f(x)取到最值.因为f'(x)在(0,正无穷)上单调递增,f'(1/2)<0,f'(1)>0,因此x取(1/2,1)内的某一个值时,f(x)取到最小值.
因此函数f(x)=e^x-lnx在e^x=1/x时取到最小值.而e^x=1/x的解不必求,设解为m,可以直接将式子e^m=1/m代入f(m)=e^m-lnm进行计算.
f(m)=e^m-lnm=1/m-ln(e^-m)=1/m+m
因为e^x=1/x的解m在(1/2,1)的范围内,而函数y=1/x+x在(1/2,1)上单调递减.故1/m+m<2+1/2=5/2且>1/m * m=2(x不等1,等号取不到).故选C.
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“如何解释f(x)=1/x+x,这是在最小值的情况下才存在这个等式,也就是说它不应该是一个函数”,此句正确,因此为了避免混淆我在上面用f(m)=1/m+m来表示.m应该是个确定值,但我们不知道它的值如何,只知道它的大致范围(1/2,1).因此对应的函数值f(m)我们也就只能知道它的大致范围,而不能确定其值(题目也是这么要求的),虽然f(m)的值是一个确定的数.
所谓的“f(x)=1/x+x”应该是根据f(m)=1/m+m构造的一个新函数,此时就不应该用f来表示,以免和原式冲突,应该改为g(x)=1/x+x.
那么接下来就是分析“g(x)=1/x+x中,x的取值范围是(1/2,1),那么g(x)的取值范围是多少?”的问题了.