设f(x)=x^2+bx+c(b,c属于R) A=｛x|x=f(x)｝,B={x|x=f(f(x))}证明：若A为只含一个元素集合,则A=B证明1,若A为只含一个元素集合,则A=B 好的话我会追分 题挺难的

设f(x)=x^2+bx+c(b,c属于R) A=｛x|x=f(x)｝,B={x|x=f(f(x))}证明：若A为只含一个元素集合,则A=B证明1,若A为只含一个元素集合,则A=B 好的话我会追分 题挺难的
设f(x)=x^2+bx+c(b,c属于R) A=｛x|x=f(x)｝,B={x|x=f(f(x))}证明：若A为只含一个元素集合,则A=B
证明1,若A为只含一个元素集合,则A=B 好的话我会追分 题挺难的

设f(x)=x^2+bx+c(b,c属于R) A=｛x|x=f(x)｝,B={x|x=f(f(x))}证明：若A为只含一个元素集合,则A=B证明1,若A为只含一个元素集合,则A=B 好的话我会追分 题挺难的
是单元素集设A={t},则f(x)-x=(x-t)²,f(x)=(x-t)²+x
对于B:x=[f(x)-t]²+f(x)=[(x-t)²+x-t]²+(x-t)²+x
∴[(x-t)²+(x-t)]²+(x-t)²=0
∵[(x-t)²+(x-t)]²>=0,(x-t)²>=0
∴[(x-t)²+(x-t)]²=(x-t)²=0
只有x=t一个解
∴B={t}=A

A=｛x|x=f(x)｝
x=x^2+bx+c
x^2+(b-1)x+c=0
若A为只含一个元素集合
则
[(b-1)/2]^2=c
B={x|x=f(f(x))}
x=f^2(x)+bf(x)+c
因为x=f(x)
故上式可化简为
x=x^2+bx+c
可以看出和A集合的表达式一样，因此A＝B

由于A中只有一个元素，设A={a}，则a=f(a)。所以a=f(a)=f(f(a))，即a∈B。
另一方面，因为A中只有一个元素，所以二次方程f(x)-x=x^2+(b-1)x+c=0只有一个根。于是知f(x)-x≥0，当且仅当x=a时，等号成立（画出二次函数图像很容易明白，这仅有的一个根即是顶点）。即当x=a时，f(x)=x；当x≠a时，f(x)＞x。所以当x≠a时，有f(f(x))-x...

全部展开

由于A中只有一个元素，设A={a}，则a=f(a)。所以a=f(a)=f(f(a))，即a∈B。
另一方面，因为A中只有一个元素，所以二次方程f(x)-x=x^2+(b-1)x+c=0只有一个根。于是知f(x)-x≥0，当且仅当x=a时，等号成立（画出二次函数图像很容易明白，这仅有的一个根即是顶点）。即当x=a时，f(x)=x；当x≠a时，f(x)＞x。所以当x≠a时，有f(f(x))-x=[f(f(x))-f(x)]+[f(x)-x]≥0+[f(x)-x]＞0，即当x≠a时，f(f(x))＞x。这说明B中也只有一个元素a。
所以A=B。

收起

若集合A只有一个元素，那么关于X的方程x=x^2+bx+c,根的判别式等于零，由此可以求得一个关于bc关系式(b-1)^2=4c,同时可以求得x=(1-b)/2。另一方面，由于f（x）=x^2+bx+c,所以可以求出f(f(x))。（是一个很长的式子，手机不好打出来你可以把它列出来）此时将x=(1-b)/2带入f(f(x)),最终化简得(1-b)/2即等于x，此时即得解。...

全部展开

若集合A只有一个元素，那么关于X的方程x=x^2+bx+c,根的判别式等于零，由此可以求得一个关于bc关系式(b-1)^2=4c,同时可以求得x=(1-b)/2。另一方面，由于f（x）=x^2+bx+c,所以可以求出f(f(x))。（是一个很长的式子，手机不好打出来你可以把它列出来）此时将x=(1-b)/2带入f(f(x)),最终化简得(1-b)/2即等于x，此时即得解。

收起

首先，A中只有一个元素，所以有x=x^2+bx+c有两个相同的解，所以（b-1）^2-4c=0，解得c=(b-1)^2/4。
然后假设x0属于集合A，则x0=f(x0)，f(f(x0)=f(x0)=x0,所以x0也属于B，也就是说A中的元素也一定是B中的元素。
再假设对于集合B，存在元素x1，满足x1不等于f(x1)，但是满足x1=f(f(x1)).也就是说假设存在元素师属于集合B...

全部展开

首先，A中只有一个元素，所以有x=x^2+bx+c有两个相同的解，所以（b-1）^2-4c=0，解得c=(b-1)^2/4。
然后假设x0属于集合A，则x0=f(x0)，f(f(x0)=f(x0)=x0,所以x0也属于B，也就是说A中的元素也一定是B中的元素。
再假设对于集合B，存在元素x1，满足x1不等于f(x1)，但是满足x1=f(f(x1)).也就是说假设存在元素师属于集合B，但是不属于集合A。
令y=x1^2+bx1+c=x1^2+bx1+(b-1)^2/4，则有x1^2+bx1+(b-1)^2/4不等于x1,即一元二次方程x1^2+bx1+(b-1)^2/4-x1=0无实数解，用判别式<0,解得x1<(1-2b)/4.
以及f(y)=y^2+by+c=y^2+by+(b-1)^2/4=x1,即一元二次方程y^2+by+(b-1)^2/4-x1=0有实数解，用判别式>=0,解得x1>=(1-2b)/4.
综上所述x1<(1-2b)/4，同时x1>=(1-2b)/4，矛盾，故不存在这样的元素x1，也就是说，集合B中的元素一定也是集合A中的元素。
所以，A=B

收起

不懂不懂…好难