作业帮线性代数,第八题,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 16:55:52
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线性代数,第八题,
线性代数,第八题,
线性代数,第八题,
用定义证,
矩阵A是正定的 等价于 对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;
如果A、B都是正定的，那么对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;a'Ba>0;
显然对于任意非零向量a,就有a'(A+B)a>0;
所以A+B也是正定的！
只要你搞清一个等价关系就行了，最好用反正法证一下。
在实数范围内：
A为n阶的正定矩阵，则A的n个特征值均为...
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矩阵A是正定的 等价于 对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;
如果A、B都是正定的，那么对于任意非零向量a,都有a'Aa>0;a'Ba>0;
显然对于任意非零向量a,就有a'(A+B)a>0;
所以A+B也是正定的！
只要你搞清一个等价关系就行了，最好用反正法证一下。
在实数范围内：
A为n阶的正定矩阵，则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x，都有x[T]Ax>0,x[T]表示A的转置。
因此有，x[T]Ax>0，x[T]Bx>0，相加得：x[T](A+B)x>0
即得A+B也为正定矩阵。
在复数范围内：
A为n阶的正定矩阵，则A的n个特征值均为正数 等价于 对于任一n维列向量x，都有x[H]Ax>0,x[H]表示A的共轭转置（称为A的Hemite矩阵）。
因此有，x[H]Ax>0，x[H]Bx>0，相加得：x[H](A+B)x>0
即得A+B也为正定矩阵。
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