如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点(1)求证:PA∥平面EFG;(2)求三棱锥p-EFG的体积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/03 14:47:49
![如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点(1)求证:PA∥平面EFG;(2)求三棱锥p-EFG的体积](/uploads/image/z/11598524-44-4.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%2C%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2C%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%2CPD%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%2CPD%3DAB%3D2%2CE%E3%80%81F%E3%80%81G%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAPC%E3%80%81PD%E3%80%81BC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APA%E2%88%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2EFG%3B%282%29%E6%B1%82%E4%B8%89%E6%A3%B1%E9%94%A5p-EFG%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%A7%AF)
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点(1)求证:PA∥平面EFG;(2)求三棱锥p-EFG的体积
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点
(1)求证:PA∥平面EFG;
(2)求三棱锥p-EFG的体积
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点(1)求证:PA∥平面EFG;(2)求三棱锥p-EFG的体积
证明:取AD的中点H,连接FH,GH,则EF∥DC,EF=(1/2)DC=1,GH∥DC
所以:EF∥GH
所以:EFHG是梯形,即EFHG四点确定一个平面,
又因为:AP∥FH,且FH在平面EFHG内
所以:AP∥平面EFHG,即PA∥平面EFG
(2)、
因为PD⊥面ABCD,AD在平面ABCD内
所以:PD⊥AD
而:AD⊥DC,DC和DP交于D点
所以:AD⊥平面PDC,即AD⊥平面PEF
又因为:AD∥BC
所以:BC⊥平面PEF,即GC⊥平面PEF
所以:GC是棱锥G-PEF的高,
而CG=(1/2)BC=1,底面PEF的面积=(1/4)△PDC的面积=(1/4)*(1/2)*2*2=1/2
所以:棱锥P-EFG的体积=棱锥G-PEF的体积=(1/3)*(1/2)*1=1/6
(1)取AD的中点H,连接FH,GH,则EF∥DC,EF=(1/2)DC=1,GH∥DC
∴EF∥GH
∴EFHG是梯形,即EFHG四点确定一个平面,
又∵AP∥FH,且FH在平面EFHG内
∴AP∥FH,即PA∥平面EFG
(2)∵PD⊥面ABCD,BC在面ABCD上
∴PD⊥BC
又∵BC⊥CD
∴BC⊥面PCD,推出GC⊥面PE...
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(1)取AD的中点H,连接FH,GH,则EF∥DC,EF=(1/2)DC=1,GH∥DC
∴EF∥GH
∴EFHG是梯形,即EFHG四点确定一个平面,
又∵AP∥FH,且FH在平面EFHG内
∴AP∥FH,即PA∥平面EFG
(2)∵PD⊥面ABCD,BC在面ABCD上
∴PD⊥BC
又∵BC⊥CD
∴BC⊥面PCD,推出GC⊥面PEF,即GC为三棱锥P-EFG的高
V三棱锥P-EFG=1/3*S△PEF*GC=1/3*1/4S△PDC*GC=1/3*1/4*1/2*PD*CD*GC=1/3*1/4*2*2*1=1/6
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1)证明:连结AC、作AC中点O、连结OE、OF、OG, ∵E、F是PC、PD的中点,∴EF∥=CD/2,O、G是AC、BC中点,∴OG∥=AB/2, ∵正方形ABCD中,AB∥=CD,∴EF∥=OG,即四边形EFOG是平行四边形, ∵E、O是PC、AC中点,∴PA∥EO,EO在平面EFG中,∴PA∥平面EFG; 2∵PD⊥平面ABCD,∴PF⊥CG, 由上EF∥=CD/2、CD⊥CG,∴EF⊥CG,∴CG是三棱锥PEFG底面PEF上的高,CG=1, PF=1、EF=1,SRt△PEF=1/2*PF*EF=1/2*1*1=1/2, V三棱锥PEFG=1/3*S△PEF*CG=1/3*1/2*1=1/6