设正项等比数列{an}的首项a1=0.5,前n项和为sn,且2^10S30-(2^10+1）S20+S20=0(1)求{an}的通项公式（2）求{nSn}的前n项和T

设正项等比数列{an}的首项a1=0.5,前n项和为sn,且2^10S30-(2^10+1）S20+S20=0(1)求{an}的通项公式（2）求{nSn}的前n项和T
设正项等比数列{an}的首项a1=0.5,前n项和为sn,且2^10S30-(2^10+1）S20+S20=0
(1)求{an}的通项公式
（2）求{nSn}的前n项和T

设正项等比数列{an}的首项a1=0.5,前n项和为sn,且2^10S30-(2^10+1）S20+S20=0(1)求{an}的通项公式（2）求{nSn}的前n项和T
S30=a1*(q^30-1)/(q-1)=a1(q^10-1)(q^20+q^10+1)/(q-1)
S20=a1*(q^20-1)/(q-1)=a1(q^10-1)(q^10+1)/(q-1)
S10=a1*(q^10-1)/(q-1)
2^10*a1(q^10-1)(q^20+q^10+1)/(q-1)-(2^10+1)*a1(q^10-1)(q^10+1)/(q-1)+a1*(q^10-1)/(q-1)=0
2^10*(q^20+q^10+1)-(2^10+1)(q^10+1)+1=0
2^10*q^20+2^10*q^10+2^10-2^10*q^10-2^10-q^10-1+1=0
2^10*q^20-q^10=0
所以q^10=1/2^10
各项均为正值
q>0
q=1/2
an=1/2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n
Sn=1/2*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=1-(1/2)^n
nSn=n-n*(1/2)^n
Tn=[1-1*(1/2)]+[2-2*(1/2)^2]+……+[n-n*(1/2)^n]
=1+……+n-[1*(1/2)+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n]
令x=1*(1/2)+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n
2x=1+2*(1/2)+……+n*(1/2)^(n-1)
x=2x-x=1+1*(1/2)+1*(1/2)^2+……+1*(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n
=1*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)]-n*(1/2)^n
=2-2*(1/2)^n-n*(1/2)^n
=2-(n+2)(1/2)^n
所以Tn=1+……+n-x
=n(n+1)/2-2+(n+2)(1/2)^n

1）2^10*S30-(2^10+1)S20+S10=0可转化成下式
2^10(S30-S20)=S20-S10
(S30-S20)/(S20-S10)=2^(-10)
S30-S20,S20-S10分别为等比数列第三个十项之和，第二个十项之和
则有等比数列性质可知 (S30-S20)/(S20-S10)=q^10
q^10=2^(-10) 得出公...

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1）2^10*S30-(2^10+1)S20+S10=0可转化成下式
2^10(S30-S20)=S20-S10
(S30-S20)/(S20-S10)=2^(-10)
S30-S20,S20-S10分别为等比数列第三个十项之和，第二个十项之和
则有等比数列性质可知 (S30-S20)/(S20-S10)=q^10
q^10=2^(-10) 得出公比q=1/2
an=a1*q^(n-1)=2^(-n)
(2)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=1-2^(-n)
数列bn=nSn=n-n2^(-n）
命cn=n,dn=n2^(-n)
易知等差数列cn前n项和Tcn=n(1+n)/2
Tdn=1*2^(-1)+2*2^(-2)+3*2^(-3)+...+n2^(-n)
2Tdn=1*2^(0)+2*2^(-1)+3*2^(-2)+...+n2^(-n+1)
两式相减得Tdn=2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)-n2^(-n)
2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)为等比数列前n项和
易知2^(0)+2^(-1)+2^(-2)+...+2^(-n+1)=2[1-2^(-n)]
则Tdn=2[1-2^(-n)]-n2^(-n)=2-(n+2)2^(-n)
所以Tn=Tcn-Tdn=n(1+n)/2-2+(n+2)2^(-n)

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