∫∫(x^3+az^2)dydz+(y^3+ax^2)dzdx+(z^3+ay^2)dxdy,其中为上半球面z=根号下a^2-x^2-y^2的上册
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/19 22:49:55
zt_Igmr.r nڤEjMȹf+,2<$}\n*1HzhT.K7B:§M(=3{$/y9Nһ ҋ:,S?z+9"gJH3%œRjd8ς "ڣ"R|f!0"(TqФ`XDyG/c{m [hN =%fOh\g)YF6 EMScמ>Ob , S_c0'"rb?BZ'KO~Lʯ%9E*,Dj>>6ǿa?1kymm?,
∫∫(x^3+az^2)dydz+(y^3+ax^2)dzdx+(z^3+ay^2)dxdy,其中为上半球面z=根号下a^2-x^2-y^2的上册
∫∫(x^3+az^2)dydz+(y^3+ax^2)dzdx+(z^3+ay^2)dxdy,其中为上半球面z=根号下a^2-x^2-y^2的上册
∫∫(x^3+az^2)dydz+(y^3+ax^2)dzdx+(z^3+ay^2)dxdy,其中为上半球面z=根号下a^2-x^2-y^2的上册
补平面:Σ1:z=0,x^2+y^2≤a^2,下侧,这样原曲面Σ与Σ1共同构成一个封闭曲面
高斯公式:
原式=∫∫∫ (3x^2+3y^2+3z^2)dxdydz
用球坐标
=3∫[0-->2π]∫[0-->π/2]∫[0-->a] r^2*r^2*sinφdrdφdθ
=3∫[0-->2π] dθ∫[0-->π/2]sinφdφ∫[0-->a] r^4dr
=6π*[-cosφ]*1/5*r^5 φ:0-->π/2 r:0-->a
=6π*1*1/5*a^5
=6πa^5/5
下面求平面Σ1上的积分,代入原积分得:
-∫∫ ay^2dxdy 积分区域为:x^2+y^2≤a^2
用一个轮换对称性,由于∫∫ y^2dxdy=∫∫ x^2dxdy
=-a/2∫∫ (x^2+y^2)dxdy
=-a/2∫[0-->2π]∫[0-->a] r^3dxdy
=-πa*1/4*r^4 [0-->a]
=-πa^5/4
最终结果为二者之差,原积分=6πa^5/5+πa^5/4=29/20πa^5
为什么φ的取值范围是0~π/2 ?